y - Ordine degli Ingegneri della provincia di Napoli

ORDINE DEGLI INGEGNERI
Corso di aggiornamento sulla normativa sismica
gen. 2007 – mar. 2007
INTRODUZIONE AI METODI DI
CONTROLLO DELLA SICUREZZA
Prof. Ciro FAELLA
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno

Spettro elastico e spettri di progetto

Requisiti generali delle costruzioni dal
punto di vista della funzionalità e della
sicurezza
Le principali domande cui bisogna
rispondere nel costruire riguardano come
costruire in modo da garantire
che le strutture non crollino, poiché la perdita di
vite umane è sempre inaccettabile,
che esse abbiano standard qualitativi elevati,
ovvero siano adeguate alle funzioni per le quali
sono costruite, ma
che siano poco costose e contemporaneamente
durevoli, in quanto l’economicità
della
costruzione deriva sia dal costo iniziale di
realizzazione dell’opera sia dal costo differito per
garantirne con adeguata manutenzione la
conservazione nel tempo.

PARAMETRI PER LA VALUTAZIONE
DELLA SICUREZZA
I parametri che influenzano il processo
decisionale che converge nella definizione del
progetto della generica struttura possono
ricondursi essenzialmente ai seguenti:
– le azioni cui la struttura deve resistere e quindi da
considerare nel progetto;
– le caratteristiche meccaniche dei materiali che
costituiscono la struttura portante;
– i modelli di calcolo che consentono la analisi
strutturale per la determinazione delle sollecitazioni e
della capacità di resistenza della generica struttura.

Le azioni sulle costruzioni
Le azioni da considerare si possono
dividere in tre categorie:
– azioni dirette costituite dal peso proprio, altri
carichi fissi, carichi di esercizio, altri carichi
variabili come neve, vento, sisma, azioni
dinamiche;
– azioni indirette determinate da variazioni
termiche, deformazioni viscose, ritiro,
precompressione, cedimenti vincolari;
– azioni chimico-fisiche
dovute ad agenti
aggressivi come ambienti chimicamente
aggressivi, umidità, gelo.

Problematiche relative
Problema più complesso è la definizione dell’entità delle le azioni da
prendere in conto. Mentre infatti il peso proprio ed in parte i carichi fissi
possono essere oggetto di una determinazione sufficientemente accurata,
curata,
più difficile risulta definire valori per le azioni rimanenti. La definizione di
valori di progetto non può prescindere da valutazioni probabilistiche che
affondano le radici in valutazioni statistiche dei valori effettivamente
osservati in condizioni simili.
E’ il caso del vento, della neve, delle variazioni termiche, delle
le
deformazioni viscose, delle azioni sismiche. La valutazione dell’entità delle
azioni variabili deve poi tener conto della durata prevedibile della d
generica
costruzione perché al crescere di questa aumenta la probabilità di azioni di
maggiore intensità, ed inoltre della entità del danno che la sua
inadeguatezza potrebbe determinare.
Per questa ragione edifici suscettibili di grande affollamento o
fondamentali per la protezione civile (ospedali, caserme dei vigili ili del fuoco,
scuole, luoghi di culto, teatri) richiedono ai sensi delle moderne normative
un maggior grado di sicurezza a parità di azioni, ovvero, un uguale grado di
sicurezza per azioni più rilevanti e meno frequenti. Altre costruzioni,
destinate ad una vita più breve, ovvero con scarsa incidenza sulla la sicurezza
delle persone, possono essere costruite con azioni variabili di minore entità.

Le caratteristiche dei materiali
Le caratteristiche dei materiali rappresentano il secondo
fattore fondamentale della sicurezza. Anche la
resistenza dei materiali da costruzione non è esprimibile
in forma deterministica in quanto essa è fortemente
variabile pur in presenza di caratteristiche di produzione
omogenee.
Questo vale sia per l’acciaio da carpenteria o da c.a.,
sia, ed a maggior ragione, per il calcestruzzo nel quale si
osserva una larga dispersione delle caratteristiche
meccaniche in campioni nominalmente uguali ovvero
caratterizzati dalla stessa composizione e dallo stesso
procedimento di fabbricazione. Anche in questo caso
come per le azioni di progetto, la definizione delle
caratteristiche meccaniche dei materiali deve
necessariamente derivare da una analisi probabilistica
che tenga conto della dispersione delle caratteristiche
meccaniche e definisca valori di riferimento con una
prefissata probabilità.

Caratteristiche aleatorie della resistenza del
calcestruzzo:
Istogramma della resistenza

Al crescere dei campioni l’istogramma diventa
curva di frequenza o di probabilità

Curve di probabilità con diversa dispersione,
valori caratteristici della resistenza

I metodi di controllo della sicurezza
Allo stato attuale la misura della sicurezza
strutturale può essere effettuata sulla base di tre
diverse metodologie:
• il metodo elastico o delle tensioni ammissibili;
• il metodo del calcolo a rottura;
• L’approccio probabilistico, che dal punto di vista
operativo si traduce in genere nel metodo semi-
probabilistico agli stati limite.

Il metodo delle tensioni ammissibili
Nel metodo delle tensioni ammissibili si ammettono le ipotesi proprie
del calcolo elastico lineare, come piccoli spostamenti, piccole
deformazioni, vincoli lisci e bilaterali, cui segue il principio di
sovrapposizione degli effetti.
Si applica, pertanto, un calcolo delle sollecitazioni sostanzialmente
elastico-lineare lineare sulla base di opportuni modelli strutturali e con
riferimento ai valori “caratteristici” delle azioni, corrispondenti nti ad una
probabilità di essere superate del 5%.
La verifica di sicurezza consiste nel garantire che in nessun punto
della struttura siano prodotte deformazioni permanenti, assumendo
peraltro un conveniente margine nei confronti di questa evenienza.
Dal punto di vista operativo ciò si traduce nel controllare che in
nessun punto vengano superati i limiti delle “tensioni“
ammissibili”,
fissate per ogni materiale con riferimento alle resistenze
caratteristiche degli stessi:
σ
eq
⎡ R
≤ ⎢σ =
⎣ γ
k
⎤
⎥
⎦

Metodi di analisi delle strutture
ed elementi di analisi limite
Nella verifica delle strutture agli stati limite, dovendosi considerare il
comportamento non lineare dei materiali e delle strutture, sono
necessarie metodologie generalmente diverse da quelle lineari per
l’analisi delle strutture e per la verifica delle sezioni.
In particolare nelle strutture iperstatiche il calcolo delle sollecitazioni
lecitazioni
allo stato limite ultimo nelle sezioni può essere eseguito seguendo
diverse strade che in diverso modo tengono conto del
comportamento non lineare delle membrature in prossimità dello
stato limite.
Si considerano a livello normativo quattro diversi modi di analisi
delle strutture, fissando per ciascuno criteri e limiti di applicazione:
A) calcolo elastico lineare senza ridistribuzione delle sollecitazioni;
B) calcolo elastico lineare con ridistribuzione delle sollecitazioni;
C) calcolo plastico;
D) calcolo non lineare.

A) Calcolo elastico-lineare lineare senza
ridistribuzione delle sollecitazioni
Il primo metodo di analisi delle sollecitazioni non differisce da d
quello normalmente usato nell’ambito del tradizionale metodo di
verifica della sicurezza alle tensioni ammissibili. Trova
giustificazione nel fatto che dimensionando le membrature in
modo tale che le caratteristiche della sollecitazione resistenti nelle
sezioni siano maggiori di quelle sollecitanti, per le condizioni di
carico previste, con un calcolo elastico allo s.l.u., ., la deviazione
dal comportamento lineare delle sezioni è relativamente
contenuta e quindi non condiziona in maniera significativa il
risultato delle verifiche.
Infatti la deviazione dal comportamento lineare, che a stretto
rigore influenza le caratteristiche della sollecitazione nelle
strutture iperstatiche fin dalle prime fessurazioni, , è rilevante
quando le armature superano lo snervamento ovvero il
calcestruzzo è sollecitato oltre il 60% della resistenza
caratteristica.
L’approssimazione implicitamente ammessa non è
qualitativamente diversa da quella normalmente accettata nelle
verifiche alle tensioni ammissibili in cui si ammette un
comportamento lineare elastico delle membrature in c.a.
trascurando gli effetti sulla rigidezza della fessurazione del

B) Calcolo elastico-lineare lineare con
ridistribuzione delle sollecitazioni
Il secondo metodo di verifica assume come punto di partenza per l’analisi delle sollecitazioni
un calcolo elastico lineare ma consente la ridistribuzione dei momenti. m
Da un punto di vista operativo, una volta determinata con i consueti metodi elastici lineari la
distribuzione delle sollecitazioni, si correggono i valori delle sollecitazioni M e
in alcune sezioni
critiche, generalmente nelle sezioni di momento negativo, mediante un coefficiente riduttivo δ
[

Ridistribuzione dei momenti

D) Calcolo non lineare
Il calcolo non lineare si basa sulla utilizzazione di
legami momento-curvatura delle sezioni o momento-
rotazione nelle sezioni critiche non lineari per effetto
della fessurazione e del comportamento non lineare
dei materiali.
L’utilizzazione di tali legami può essere consentita da
procedimenti iterativi al passo, basati sul fatto che ad
ogni passo di carico le rigidezze delle membrature
mutano per effetto del comportamento non lineare ed
è quindi necessario modificare progressivamente la
matrice di rigidezza della struttura (secante o
tangente) fino al raggiungimento del collasso nella
sezione critica per il raggiungimento di un limite di
deformazione.

Analisi non lineare
R(t,q,s)
R 3
∆R 2
R 2
∆Sj (i)
R j
(i)
∆R 1
R 1
S 1
S

Definizione degli stati limite
Gli stati limite di servizio, , possono derivare da prescrizioni legate alle
prestazioni che si richiedono nel caso specifico e sono principalmente
derivati da:
- eccessiva fessurazione;
- eccessiva deformazione;
- eccessiva corrosione o degradazione;
- eccessiva vibrazione.
Tali stati limite, pur non riguardando direttamente la sicurezza,
condizionano la funzionalità della costruzione, la sua durabilità, i suoi
costi di manutenzione e, quindi, l’accettabilità della costruzione stessa.
Gli stati limite ultimi possono derivare invece da:
- perdita di equilibrio di una parte o dell’insieme della struttura,
ra,
considerata come un corpo rigido;
- rottura localizzata della struttura per azioni statiche;
- collasso per trasformazione della struttura o di una sua parte in un
meccanismo;
- instabilità per deformazione;
- rottura localizzata della struttura per fatica;
- deformazioni plastiche o di fluage, fessurazioni o scorrimenti di
giunti che conducano ad una modifica della geometria, tale da
rendere necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fond.;
- degradazione o corrosione, che rendano necessaria la sostituzione

Combinazioni di carico allo stato
limite ultimo
Il metodo di verifica semiprobabilistico agli stati limite evidenzia nella sua
stessa definizione l’attenzione al fatto che il comportamento delle strutture
dipende da grandezze aleatorie, che riguardano sia la resistenza dei
materiali, sia l’intensità ed il tipo di permanenza delle azioni (carichi di
breve o lunga durata, carichi ripetuti), sia la geometria della struttura con
le imperfezioni conseguenti, sia l’adeguatezza dei modelli di calcolo
adottati.
Tale considerazione ha come immediata conseguenza che le verifiche
delle strutture andrebbero condotte correttamente solo con metodi
probabilistici, , controllando che la probabilità del manifestarsi di una
deficienza strutturale, che consiste nel superamento di un determinato
stato limite, si mantenga sufficientemente bassa. Un approccio di questo
tipo richiede un impegno calcolativo generalmente troppo elevato ed
avrebbe senso solo se le grandezze aleatorie fossero conosciute tutte
con grande accuratezza; pertanto i metodi di verifica proposti dalle d
normative, metodi semiprobabilistici, , si accontentano di valutare
separatamente lo stato di sollecitazione da una parte e la resistenza della
struttura dall’altra per assegnati livelli di probabilità, controllando ollando che le
sollecitazioni così determinate si mantengano sufficientemente al di sotto
delle resistenze corrispondenti.

Aspetti basilari del metodo
l’adozione di valori caratteristici per tutte le grandezze di cui i si voglia
considerare il carattere aleatorio, come le resistenze dei materiali e
l’intensità delle azioni;
per le resistenze si definiscono i valori caratteristici come i frattili di ordine
0.05 delle rispettive distribuzioni statistiche; per le azioni si definiscono
come valori caratteristici frattili di ordine 0.95, quando ai fini della sicurezza
sono rilevanti i valori maggiori delle stesse, ovvero i frattili di ordine 0.05 nel
caso contrario;
la trasformazione dei valori caratteristici innanzi descritti in valori di calcolo
adeguati allo stato limite considerato mediante l’applicazione di coefficienti
γ m
e γ f
con lo scopo di coprire le incertezze non considerate nelle curve di
distribuzione dei materiali e delle azioni e di adeguare il livello llo di probabilità
delle resistenze e delle sollecitazioni a valori compatibili con la sicurezza
richiesta per i vari tipi di verifica;
in particolare le resistenze di calcolo si ottengono dividendo le resistenze
caratteristiche per γ m
, le azioni di calcolo moltiplicando quelle caratteristiche
per i coefficienti γ f
;
il controllo che i valori effettivi delle caratteristiche di resistenza di calcolo
(resistenze di sezioni, di membrature, deformazioni limite) non siano
superati dalle caratteristiche di sollecitazione di calcolo (sollecitazioni
lecitazioni
dovute alle azioni di calcolo, deformazioni).

Definiti infatti i valori caratteristici S k e di calcolo S d delle
sollecitazioni ed i valori caratteristici R k e di calcolo R d delle
resistenze delle sezioni, tale controllo si riconduce alla
verifica della diseguaglianza:
Sd ≤ R d
il cui significato è facilmente desumibile dalla figura.
f
S
, fR
S m S k S d R d R k R m
Definizione delle sollecitazioni e delle resistenze di progetto

Combinazioni di carico allo s.l.u.
Nelle verifiche allo s.l.u. le combinazioni di carico si possono
esprimere nel modo seguente:
F
d
⎡ n
= γ g Gk
+ γ p Pk
+ γ q ⋅ ⎢Q
k + ∑
⎢⎣
i=
2
1
ψ 0
( Q )
Tale relazione esprime in forma simbolica che le condizioni di carico c
allo s.l.u., ., devono prevedere i carichi amplificati (γ·G(
k ), le azioni della
precompressione amplificate o ridotte a seconda della condizione
più sfavorevole (γ(
p ·P k ), i carichi variabili amplificati (γ(
q·Q
k ). In
presenza di più carichi variabili il primo viene considerato per intero,
i rimanenti vengono corretti dai coefficienti di combinazione (y 0i ).
Il ruolo dei coefficienti γ e ψ è di determinare combinazioni di carico
di una prefissata probabilità, differenziando le verifiche agli s.l.u. da
quelle agli s.l.s., in cui diverse sono le probabilità di riferimento. In
particolare le combinazioni di carico per le verifiche agli s.l.u. hanno
una probabilità di accadimento molto inferiore a quella di riferimento
imento
per le verifiche di servizio.
i
ik
⎤
⎥
⎥⎦

Combinazioni di carico allo s.l.s.
Le azioni da considerare per tali verifiche sono quelle normalmente nte presenti nella vita
della struttura; possono al riguardo distinguersi le azioni quasi i permanenti, costituite
dal peso proprio, dai carichi fissi e da una quota modesta dei carichi c
accidentali, e le
azioni frequenti costituite dal peso proprio, dai carichi fissi e da una quota maggiore
di carichi variabili. In particolare, carichi come il vento e la neve non sono in genere
da considerarsi nelle condizioni di carico quasi-permanenti
permanenti, , mentre possono
considerarsi nelle condizioni di carico frequenti con percentuali i ridotte (dell’ordine del
20%).
Le azioni negli s.l.s. sono assunte con i loro valori caratteristici (γ(
g = γ p = γ q·= 1), in
rapporto al diverso tipo di permanenza delle azioni, che determina un diverso effetto
sulla struttura, come ad esempio la corrosione e gli effetti viscosi; si ottengono diversi
tipi di combinazioni di carico:
combinazioni rare, combinazioni frequenti, combinazioni quasi permanenti:
= G
k
+
P
k
+ Q
n
1k
+ ∑( ψ
1i
Qik
) Fd
= Gk
+ Pk
+
1
Q1k
+ ∑( ψ
2i
Qik
)
i=
2
n
ψ F = G + P + (
i=
2
d
k
k
n
∑
i=
1
ψ 2
i
Q
ψ 1 = coefficiente atto a definire i valori delle azioni corrispondenti a frattili di ordine
0.95 delle distribuzioni dei valori istantanei;
ψ 2 = coefficiente atto a definire i valori quasi permanenti delle azioni corrispondenti a
valori medi delle distribuzioni dei valori istantanei.

Lo stato limite ultimo più frequente nelle strutture
in c.a. è lo stato limite per tensioni normali
ovvero lo stato limite di sezioni presso/tenso
tenso-
inflesse. . Tale stato limite riguarda pertanto in
maniera unitaria i casi di flessione,
pressoflessione e tensoflessione.
Dal punto di vista del comportamento, le sezioni
sottoposte a sollecitazioni di presso-
tensoflessione con flessione prevalente,
attraversano tre diverse fasi al crescere della
entità delle sollecitazioni:

la prima fase è caratterizzata dalla assenza di fessure e quindi da un
comportamento a sezione integra o non parzializzata;
la seconda fase è caratterizzata dalla fessurazione delle sezioni i e quindi dalla
parzializzazione delle stesse mentre i materiali sono ancora elastici;
la terza fase, è caratterizzata dalla non linearità dei legami costitutivi c
essendo i
materiali sollecitati a livelli tensionali prossimi alla rottura.
P
STADIO III
STADIO II
STADIO II*
STADIO I
∆

Ipotesi di base e legami costitutivi
Per la determinazione delle caratteristiche ultime
di sezioni in c.a. presso-tenso
inflesse si
assumono le consuete ipotesi alla base della
teoria tecnica:
conservazione delle sezioni piane;
omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in
zona compressa e della armatura;
aderenza tra calcestruzzo ed acciaio;
trascurabilità della resistenza a trazione del
calcestruzzo.

Legame costitutivo per l’armatura metallica
σ s
f sy
f sd = f sy
γ s
ε =0.010
f sy
E s
ε =0.0035
ε s
f sd = f sy
γ s

Legame costitutivo per il calcestruzzo
σ c
E
E o
f’ c
0.4 f c
c
ε c1 ε cu
ε c

Definizione di s.l.u. per tensioni normali
0.0100
Lo stato limite ultimo di una sezione è
individuato dal raggiungimento della
massima deformazione del calcestruzzo
compresso o dell’acciaio teso.
I valori di tali deformazioni valgono
rispettivamente:
ε cu
= 0.0035
ε su
= 0.010

Condizioni della sezione
presso-tenso
inflessa
3.5
2
B
y c =-
y 3,4
y 2,3
1
C
A
2
3
4
5
6
y c =
y 4,5
-10

STATI DI SOLLECITAZIONE IN RELAZIONE
ALLA POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO
ZONA 1 (tenso(
flessione o trazione pura)
ZONA 2 (tenso-presso flessione/flessione
flessione)
ZONA 3 (tenso(
tenso-presso
flessione/flessione
flessione)
ZONA 4 (tenso(
tenso-presso
flessione/flessione
flessione)
ZONA 5 (presso flessione)
ZONA 6 (presso flessione/compr
compr. sempl.)

Diagramma tensionale- deformativo allo
s.l.u. con asse neutro esterno alla sezione
h
2
λy c
h
d i
N c
G y c
ε si
ε c
y c -h
A si
b

Diagramma tensionale-deformativo
allo s.l.u.
con asse neutro interno alla sezione

Equazioni di equilibrio interno della sezione
Equilibrio alla traslazione:
∫
y
y
1
2
b ⋅σ
n
( y) dy + A ⋅σ
= N
∑
i=
1
si
si
Equilibrio alla rotazione:
y
⎡h
⎤
∫
2
b ⋅σ
⎢ c ⎥
y1
⎣2
⎦ =
n
( y) ⋅ − y + y dy + A ⋅σ
⋅ − d = N ⋅ e = M
∑
i
1
si
si
⎡ h
⎢
⎣ 2
i
⎤
⎥
⎦

h
d’
d
A s
A’ s
ε
f’ cd f’ cd
y c
0.8y c
d - y c
b

ORDINE DEGLI INGEGNERI
Corso di aggiornamento sulla normativa sismica
gen. 2007 – mar. 2007
INTRODUZIONE AI METODI DI
CONTROLLO DELLA SICUREZZA
FINE
Prof. Ciro FAELLA
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno

ORDINE DEGLI INGEGNERI
Corso di aggiornamento sulla normativa sismica
Gennaio 2007 – marzo 2007
STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI
NORMALI
Prof. Ciro FAELLA
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno

Analisi strutturale
Idealizzazione struttura
e dimensionamento
elementi strutturali
L’analisi è
governata
dal
comportamento
dei
materiali
H
B
Verifica
s
N
C
c
A's
y c e
εc
'
εs
n
σ c
σ s '/n
n
Calcolo delle
sollecitazioni
As
εs σ s /n

Analisi a livello di sezione
Dimensionamento
elementi strutturali
H
Verifica
s
N
C
c
A's
y c e
εc
'
εs
n
σ c
σ s '/n
n
As
εs σ s /n
B
A.
Ipotesi di elasticità
lineare dei materiali
σ
ε
B.
Ipotesi di non linearità
meccanica dei materiali
σ
ε

Ipotesi di base nel metodo
delle tensioni ammissibili
• Conservazione delle sezioni piane
• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo
in zona compressa e dell’armatura
• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo
• Trascurabilità della resistenza a trazione
del calcestruzzo

Metodo delle tensioni ammissibili
Legami costitutivi dei materiali
e tensioni e le deformazioni
ei materiali vengono limitate
valori bassi
s
C
A' s
N
c
y c
e
'
εs
n
σ s '/n
n
si assume valida l’ipotes
di elasticità lineare de
materiali
εc σc Rck
Calcestruzzo
72.5
εc σ c
0.00029 200
0.00034
122.5
400
A s
εs σ s /n
εs
0.0010
σs
2200 Acciaio
FeB38k
0.0012
2600
FeB44k

Metodo delle tensioni ammissibili
calcolo dello stato tensionale nell’ipotesi di elasticità lineare
Esempio della
sezione a semplice
armatura inflessa
∫
Equilibrio alla traslazione nella direzione dell’asse dell’elemento:
ns
ns
c
⋅ yn
σ ⎡
⎤
c
σ dA + ∑ s,i ⋅σs,i
= 0
A r A
σ = σ n As
⎡
⎢∫
yn
dA
2
+
b
r
n
d⎤
S ∑ As
, i
⋅σs,
i⎥
=
Ar
r
n =0 yc
= ⋅
y y
⎢−1+
1+
⎥
b c ⎣ n A i=
1 ⎦
i=
1
c
⎢⎣
s
⎥⎦
0
Equilibrio alla rotazione:
M
rc
=
σ
c
b y
2
c
⎛
⎜
⎝
d
−
y
3
c
⎞
⎟
⎠
M
rs
= σ
s
A
s
⎛
⎜
⎝
d
−
y
3
c
⎟
⎠
⎞

Legami costitutivi dei materiali
Stati limite ultimi per tensioni normali
Cosa si intende per Stato Limite Ultimo di una sezione?
Lo stato limite ultimo di una sezione è individuato dal
raggiungimento della massima deformazione del
calcestruzzo compresso o dell’acciaio teso.
• Deformazione ultima
del calcestruzzo:
ε cu = 0.0035
• Deformazione ultima
dell’acciaio:
ε su = 0. 0100
n
n
A's
As
A's
As
y c
y c
ε c = ε cu =0.0035
ε s
εc
ε s '
<
<
ε su
n
εcu
'
εs
εs = ε su =0.010

Ipotesi di base negli
stati limite ultimi
• Conservazione delle sezioni piane
• Omogeneità ed isotropia del calcestruzzo in zona compressa e
dell’armatura
• Aderenza tra acciaio e calcestruzzo
• Trascurabilità della resistenza a trazione del calcestruzzo
• Deformazione massima del calcestruzzo pari –0.0035
nel caso di flessione semplice e composta con asse
neutro interno alla sezione, e variabile da detto valore
fino a –0.002 per asse neutro esterno alla sezione
• Deformazione massima dell’armatura tesa pari a
+0.010

Legami costitutivi dei materiali
Stati limite ultimi per tensioni normali
i considera lo stato tensionale
orrispondente alle deformaioni
ultime dei materiali
CALCESTRUZZO
materiali accurato fino all
Occorre definire un
legame costitutivo de
condizione ultima
ACCIAIO
200
t.a.
Stati limite ultimi
t.a.
Stati limite ultimi
0.010

Legami costitutivi dei materiali:
il calcestruzzo
• Il legame σ-ε è non lineare fin
da valori modesti della
deformazione
• La deformazione corrispondente
alla tensione massima è
pressoché costante al variare
della resistenza del cls
• Dopo il valore massimo della
resistenza il legame σ-ε
procede con un tratto
decrescente la cui pendenza
aumenta all’aumentare della
resistenza
• Il valore della deformazione
massima aumenta al
diminuire della resistenza

Legami costitutivi dei materiali:
k ε − ε
σ =
1+
k − 2
σ c
il calcestruzzo: legge di Saenz
2
( )
⋅
f c
= ε
f' c
E = 1. 1⋅
E
0 c
0.4 f c
E
E o c
ε c1 ε cu
ε
ε
⋅
k
=
E
ε
⋅ε
f
c
c
/ εc1
*
σ
0 1
=
f
ε c1 = 0.0022
c
ε c
• (introdotta per la
prima volta a livello
di codici dal CEB
nel Model Code del
1976
• EUROCODICE 2
“progettazione delle
strutture in c.a.)
Diagramma per
l’analisi strutturale:
analisi non lineare o
analisi plastica
( f −150) / 400 ( = 0.0029 0.0037)
= 0 .0037 − 0.0008⋅
÷

Legame costitutivo del calcestruzzo per il
rogetto e verifica della sezione trasversale
Norme contenute nello
stesso Decreto 9/1/1996
EUROCODICE 2 con
modifiche ed integrazioni
A) Diagramma parabola-rettangolo
B) Stress block
σ c
Diagramma parabola-rettangolo
f' cd
0.0020 0.0035
σ ε)
( = cd 0 . 002 ≤ ε ≤ 0.
0035
σ ( ε)
= 1000 ⋅ ε ⋅ (1 − 250 ⋅ ε)
⋅ f ′ ε < 0. 002
f ′
cd
ε c

Si considera allo s.l.u. un diagramma tensionale costante con tensione
pari a f’ cd esteso alla parte di sezione compresa tra il bordo più compresso
e y’ c :
Asse neutro interno alla sezione
A' s
h d A s
d'
b
y′ = 0.
8⋅
c y c
y c
d - y c
Stress Block
ε
0.8 y c
f' cd
Asse neutro esterno alla sezione
h
d
d'
y′
c
A's
As
=
b
y
y
c
c
− 0.
80 ⋅ h
− 0.
75⋅
h
⋅ h
ε f' cd
y' c
y c

Differenti modelli per il calcestruzzo
σ c
f ck
f' cd
h
d
d'
5
c
1.
E cd
Curva di Saenz
Parabola-rettangolo
A s
A' s
fck
0.83⋅
Rck
f ′
cd
= α ⋅ fcd
= α = α
γ
b
y c
d-y c
ε c1 0.0035
ε
ε c
f' cd
Curva di Saenz
α = 0.85
α=0.80 nel caso di STRESS BLOCK
con sezione di larghezza crescente
dalla fibra maggiormente compressa
verso l’asse neutro
Coeff. γ c - Stati limite ultimi
(Decreto 9/1/1996)
γ c =1.5 c.a.p.
γ c =1.6 c.a. e c.a.p. con precompressione
parziale
f' cd
Parabolarettangolo
0.8 y c
f' cd
Stress Block

Legami costitutivi dei materiali
L’acciaio
Analisi globale
σ s
f sy
f sd = f sy
γ s
ε=0.010
E s
ε =0.0035
f sd = f sy
γ s
f sy
f
st
ε s
Progetto della
sezione
σ s
f sy
f sd = f sy
γ s
Coeff. γ s - Stati limite ultimi
(Decreto 9/1/1996)
γ s =1.15
ε=0.010
E s
ε =0.0035
f sd = f sy
γ s
f sy
ε s

Possibili condizioni limiti
della sezione generica
0.
0035
y ,
⋅ ′
2 3
=
0.
01+
0.
0035
( h − d )
y
y c
3,4
=
( f / E )
sd
ε c =0.002 ε ε c =ε ε c =ε c cu
cu
y c
y c
y c
y c
y c
ε
ε ε s
=ε 0
su
s 0
su /E
sd
0.0035
⋅
+ 0.0035
s
3/7H
s
y c =-
A
( h − d′
)
1
2
-10
• Deformazione ultima
del calcestruzzo:
ε cu = 0.0035
ε '
cu
= 0.0020
ε su = 0. 0100
• Deformazione ultima
dell’acciaio:
3
4
3.5
2
5
6
y 2,3
y c =
C
f
sd/Es
B
y 3,4
y 4,5

Stati di
sollecitazione
ZONE
POSIZIONE
ASSE NEUTRO
STATI DI
SOLLECITAZIONE
1 (tenso flessione o
−∞ < yc
< 0 trazione pura)
y c =-
A
1
2
3
4
3.5
2
5
6
y 2,3
y 3,4
y c =
C
B
y 4,5
2 (tenso-presso
2 3 flessione/flessione)
0 < y c < y ,
3 (tenso-presso
y
2 , 3
< y c < y
3,
4 flessione/flessione)
4 (tenso-presso
y d flessione/flessione)
3
, 4
< y c <
5 (presso flessione)
d < yc <
h
-10
f /E
sd s
6 (presso flessione/compr.
h < y c < +∞
sempl.)

Equazioni di equilibrio alla traslazione ed
alla rotazione intorno all’asse baricentrico
ε c
h
2
y
y c
σ c (y)
N c
λ y c
h
G
A si
εsi
σsi
d i
Equilibrio alla traslazione:
b ⋅
b ⋅
y
n
∫
c
σ ∑ si si =
0
i=
1
b
( y) dy + A ⋅ σ N
Equilibrio alla rotazione intorno all’asse baricentrico:
y
n
c
∫ σ
c ∑ si si i
=
0
i=
1
( y) ⋅ [( h / 2)
− y + y] dy + A ⋅ σ ⋅ [ d − ( h / 2)
] = N ⋅ e M

Equazioni di equilibrio alla traslazione ed
alla rotazione intorno all’asse baricentrico
Ponendo:
yc
∫ σ
0
ψ =
y ⋅
c
( y)
f
′
cd
dy
λ
=
1
y
c
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∫
yc
σ
( y) ⋅ ( y − y)
∫
yc
σ
c
( y)
dy
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
0
1
0
dy
−
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∫
yc
0
y
σ
2
c
( y)
⋅
⋅ ψ ⋅
y dy
⎤
⎥
f ′
⎥
c ⎥
⎦
Si ottiene:
b⋅y
c
⋅ψ⋅f
′
cd
+
n
∑ A ⋅σ =
i=
1
si
si
N u
b⋅y
c
⋅ψ⋅f
′
cd
n
[( h/ 2)
−λ y ] + A ⋅σ [ d −( h/ 2)
]
c
∑
i=
1
si
si
i
= M uG

Coefficienti ψ e λ
yc
( y)
∫ σ dy
⎡ yc
0
( ) ( )
⎤
ψ =
1 ⎢∫
σ y ⋅ yc
− y dy
⎥
λ =
=
yc
⋅ f cd ′
y ⎢ y
⎥
c
c
⎢ σ( )
⎣ ∫ y dy ⎥
0
⎦
0
1
−
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
∫
yc
0
y
σ
2
c
( y)
⋅
⋅ ψ ⋅
y dy
⎤
⎥
f ′
⎥
c ⎥
⎦
ε cu
f' cd
h
2
y
y
c
σ
c (y)
N c
λ y c
h
G
A si
ε si
σ si
d i
b

Coefficienti ψ e λ
sezione rettangolare
Diagramma Parabola-rettangolo
Stress block
ψ = 0.8 λ = 0.4
yc
− 0.80 ⋅ h
ψ =
λ = ψ/2
y − 0.75 ⋅ h
c
y c =-
-10
3.5
y c
1
2
5
3
A
4
6
2
y 2,3
y c =
C
B
y 3,4
y 4,5
ξ ψ λ ν c µ cG
0.05 0.2401 0.3413 0.0120 0.0058
0.06 0.2852 0.3433 0.0171 0.0082
0.07 0.3291 0.3453 0.0230 0.0110
0.08 0.3718 0.3475 0.0297 0.0140
0.09 0.4130 0.3498 0.0372 0.0174
0.10 0.4527 0.3523 0.0453 0.0210
0.11 0.4907 0.3550 0.0540 0.0249
0.12 0.5269 0.3578 0.0632 0.0289
0.13 0.5611 0.3610 0.0729 0.0330
0.14 0.5931 0.3644 0.0830 0.0373
0.15 0.6228 0.3681 0.0934 0.0416
0.16 0.6500 0.3721 0.1040 0.0458
0.17 0.6745 0.3765 0.1147 0.0500
0.18 0.6963 0.3813 0.1253 0.0541
0.19 0.7158 0.3861 0.1360 0.0580
0.20 0.7333 0.3909 0.1467 0.0619
0.21 0.7492 0.3956 0.1573 0.0656
0.22 0.7636 0.4001 0.1680 0.0692
0.23 0.7768 0.4044 0.1787 0.0727
0.24 0.7889 0.4086 0.1893 0.0761
0.25 0.8000 0.4125 0.2000 0.0794
0.30 0.8095 0.4160 0.2429 0.0911
0.40 0.8095 0.4160 0.3238 0.1080
0.50 0.8095 0.4160 0.4048 0.1182
0.60 0.8095 0.4160 0.4857 0.1216
0.70 0.8095 0.4160 0.5667 0.1183
0.80 0.8095 0.4160 0.6476 0.1083
0.90 0.8095 0.4160 0.7286 0.0915
1.00 0.8095 0.4160 0.8095 0.0680
1.10 0.8620 0.4428 0.8620 0.0493
1.20 0.8955 0.4583 0.8955 0.0373
1.30 0.9181 0.4681 0.9181 0.0293
1.40 0.9341 0.4748 0.9341 0.0235
1.50 0.9458 0.4795 0.9458 0.0194
1.75 0.9644 0.4868 0.9644 0.0127
2.00 0.9748 0.4908 0.9748 0.0090
2.50 0.9855 0.4947 0.9855 0.0052
3.00 0.9906 0.4966 0.9906 0.0034
3.50 0.9934 0.4976 0.9934 0.0024
4.00 0.9951 0.4982 0.9951 0.0017
4.50 0.9962 0.4987 0.9962 0.0013
5.00 0.9970 0.4989 0.9970 0.0011

Andamento dei coefficienti ψ e λ
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
ψ
νc
,
ψ νc
λ
µ CG
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
ξ
PARABOLA-RETTANGOLO
STRESS BLOCK

Tensione nelle armature tese
3.5
2
B
y c =-
y c
1
2
5
3
A
4
6
y 2,3
y 3,4
y c =
C
y 4,5
-10
f /E
sd s
ε
s
Zone 1,2,3:
≥
f
sd
E
s
⇒ σ
s
= −f
′
sd
ε
s
Zone 4,5:
0.0035
= − ⋅
y
σ =
s
c
E ε
s
( d − y )
s
c
ε
s
Zona 6:
0.002
⋅( y − d )
=
⎛ 3 ⎞
⎜ yc
− ⋅h⎟
⎝ 7 ⎠
σs = Es
⋅εs
c

Tensione nelle
armature compresse
y c =-
2'
3.5
y c
1
2
5
3
A
4
6
2
f /E
sd s
y 2,3
y c =
C
B
y 3,4
y 4,5
2''
Zone 1,2’:
-10
Zone 2”,3,4,5:
f /E
sd s
Zona 6:
ε′
s
0.01
= −
d − y
s
c
s
⋅
σ ′ = E ε′
( d′
− y )
s
c
f
sd
ε′
s
≥ ⇒ σ
s
Es
′
′
=
f
′
sd
f
sd
ε′
s
≥ ⇒ σ
s
Es
′
′
=
f
′
sd

⋅ y
b ⋅ y
c
c
⋅ψ ⋅f
′
cd
⋅ψ ⋅f
′
cd
+ A
s
⋅σ
s
⎛ h
⋅⎜
− λ ⋅ y
⎝ 2
+ A
c
'
s
⎞
⎟ +
⎠
⋅σ
A
'
s
s
= N
⋅σ
s
u
⎛ h ⎞
⋅⎜
− d'
⎟ −
⎝ 2 ⎠
A
'
s
⋅σ
'
s
⎛ h
⋅⎜
⎝ 2
⎞
− d'
⎟
⎠
=
M
uG
Zona
σ s
'
σ s
ψ
λ
1
-f sd
E s ⋅ε s ;-f sd
0
0
2
-f sd
f sd
0.8
0.4
3
-f sd
f sd
0.8
0.4
4
E s ⋅ε s
f sd
0.8
0.4
5
E s ⋅ε s
f sd
0.8
0.4
6
E s ⋅ε s ; f sd
f sd
0.8 – 1.0
0.4 – 0.5

Sezione rettangolare: verifica
M u
M u (N d )
(N u , M u )
M d
d
e =cost
N d
N u(M d)
N
u
Verifica tipo A:
Verifica tipo B:
Verifica tipo C:
N
M
e
u
u
u
=
=
= M
e
d
N
d
=
d
M
N
⇒ M
d
⇒
d
N
d
= ⇒
≤ M
≤
N
N
u ( d
d
M
u
(
d
≤
N
N
)
)
e
u
( d
)

Sezione rettangolare: verifica
Escludendo la zona 1(relativa alla tensoflessione) e la zona 6
di scarso interesse per ragioni di duttilità, applicando lo
Stress block si ha:
Equilibrio alla traslazione (determinazione posizione asse
neutro):
a) armatura compressa in campo elastico:
L’equazione determinatrice dell’asse neutro si presenta nella forma seguente:
0.
01
0. 8⋅
b ⋅ yc
⋅ fcd
′ + As′
⋅ Es
⋅ ⋅ ( yc
− d′
) − As
⋅ fsd
= Nu
d − yc
che risulta una equazione di 2° grado in y c
con coefficienti a 2
, a 1
, a 0
, forniti
dalle seguenti relazioni
a = 0.
8⋅ b ⋅ ′
2
f cd
( 0.
8 ⋅ b ⋅ d ⋅ f ′ + 0.
⋅ A′
⋅ E + A ⋅ f N )
a = −
01
+
a
1
0
= 0.
01⋅
A′
sd
⋅ E
cd
s
⋅ d′
+
A
s
⋅
s
f
sd
s
⋅ d
+
s
N
u
sd
⋅ d
u

Sezione rettangolare: verifica
b) armature entrambe snervate:
L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:
0. 8⋅ b ⋅ y ⋅ f ′ + A′
⋅ f − A ⋅ f =
c cd s sd s sd u
Nu
+ As
⋅ fsd
− As′
⋅ f
y
sd
c =
0.
8⋅
b ⋅ fcd
′
c) armatura inferiore in campo elastico:
L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:
0.
0035
0. 8⋅
b ⋅ yc
⋅ fcd
′ + As′
⋅ fsd
− As
⋅ Es
⋅ ⋅ ( d − yc
) = Nu
yc
che risulta una equazione di 2° grado in y c
con coefficienti a 2
, a 1
, a 0
, forniti
dalle seguenti relazioni
a = 0.
8⋅b⋅
f cd ′ a = A
2 s′
⋅ fsd
+ 0.
0035⋅
As
⋅ Es
− Nu
a0
= −0.
0035⋅
As
1
⋅E
⋅d
Equilibrio alla rotazione intorno al baricentro:
N
s
M
uG
⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞
= ψ ⋅ b ⋅ yc
⋅ fcd
′ ⋅ ⎜ − λ ⋅ yc
⎟ + As′
⋅ σ′ s ⋅ ⎜ − d′
⎟ − As
⋅ σs
⋅ ⎜ − d′
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

A
Esempio di verifica di sezione
rettangolare a flessione semplice
Verifica allo stato limite ultimo della sezione in corrispondenza dell’appoggio B,
soggetta al momento flettente Md = -30000 kgm
B
Cls: Rck=250 kg/cmq
C
– acciaio: FeB38k
Resistenze di calcolo del
calcestruzzo e dell’acciaio:
f
ψ
fck
0.83⋅
Rck
2
′
cd
= 0.85
= 0.85 = 110kg
/ cm
γ
c
1.6
f
yk 3800
2
f
sd
= = = 3304kg
/ cm
γ
s
1.15
Determinazione della posizione
dell’asse neutro:
si supponga inizialmente di essere
nella zona in cui le armature sono
entrambe snervate.L’equazione di
equilibrio alla traslazione diventa,
utilizzando il diagramma “stressblock”
per il calcestruzzo:
0 . 8⋅
b ⋅ y ⋅ f ′ + A′
⋅ f − A ⋅ f = N = 0
c
cd
s
sd
s
sd
u

cui segue
y
I limiti della zona in cui le armature sono snervate sono:
y
( f
sd
/ E
s
) ⋅ d
0.
01⋅
( f
+ 0.
01⋅
d′
/ E
)
( 3304/2100000)
⋅ 66.
5 + 0.
0.
01⋅
( 3304/2100000)
01⋅
3.
5
2 ′, 2′′
=
=
= .
sd
s
12 06 cm
0.
0035
0.
0035
y3 , 4
=
⋅ ( h − d ′)
=
⋅ (70 − 3.
5) = 45.
88 cm
( f / E ) + 0.
0035 (3304/2100000) + 0.
0035
sd
s
per cui si ricade nella zona con l’armatura compressa in campo elastico:
y c
A
⋅ f sd − As′
⋅ f
0.
8 ⋅ b ⋅ f ′
< y2 ′,
2′
16.
08 ⋅ 3304 − 4.
02 ⋅ 3304
=
0.
8 ⋅ 40 ⋅110
s
sd
c =
=
cd
In tale zona l’equazione determinatrice della posizione dell’asse neutro è:
0.
01
0 . 8⋅
b ⋅ yc
⋅ fcd
′ + As′
⋅ Es
⋅ ⋅ ( yc
− d ′)
− As
⋅ f sd = Nu
= 0
d − y
che diventa un’equazione di II grado in y c
a
2
2
⋅ y + a1
⋅ y + a0
=
c
c
c
0
11.
32 cm

dove
a
a
0
1
= 0.
01⋅
A′
⋅ E
+ 16.
08 ⋅ 3304 ⋅ 66.
5 + 0 = 3828503
= −(0.
8 ⋅ b ⋅ d ⋅
s
s
+ 0.
01⋅
4.
02 ⋅ 2100000 + 16.
08 ⋅ 3304 − 0) = −371628
a2 = 0.
8⋅
b ⋅ f ′ = 0.
8⋅
40 ⋅110
=
Risulta
3250 ⋅
cd
⋅ d ′ + A
f ′
cd
2
y c − 371628 ⋅ y
s
⋅
f
sd
⋅ d
+ N
+ 0.
001⋅
A′
⋅ E
c
s
u
s
⋅ d
+
A
3520
+ 3828503 =
= 0.
01⋅
4.
02 ⋅ 2100000 ⋅ 3.
5 +
0
s
⋅
f
sd
− N
u
) = −(0.
8 ⋅ 40 ⋅ 66.
5⋅110
+
2
2
− B − B − 4 AC 371628 − 371628 − 4 ⋅ 3520 ⋅ 3828503
y c =
=
= 11.
57 cm
2 A
2 ⋅ 3520
Il momento ultimo si ricava dall’equazione di equilibrio alla rotazione, che
per la zona in esame è la seguente:
M
uG
⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ h ⎞
= 0.
8⋅
b ⋅ yc
⋅ fcd
′ ⎜ − 0.
4 ⋅ yc
⎟ + As′
⋅ σ′ s ⋅ ⎜ − d′
⎟ − As
⋅ σs
⋅ ⎜ − d′
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

dove
0.
01
0.
01
σ′ s = Es
⋅ ε′ s = Es
⋅ ⋅ ( yc
− d′
) = 2100000⋅
⋅ (11.
57 − 3.
5) =
d − y
66.
5 −11.
57
=
2
3085 kg/cm
σ s
= − fsd
2
= −3304 kg/cm
c
Il momento ultimo vale, pertanto:
M uG
= 0.
8 ⋅ 40 ⋅11.
57 ⋅110
⋅
⋅ (35 − 3.
5) = 3301138
( 35 − 0.
4 ⋅11.
57) + 4.
02 ⋅ 3085 ⋅ ( 35 − 3.
5)
kgcm = 33011
per cui la verifica è soddisfatta, essendo:
kgm
+ 16.
08 ⋅ 3304 ⋅
M
d
= 30000 kgm < M = 33000
uG
kgm
Si osserva infine che l’asse neutro allo s.l.u. è nella zona 2:
y ⎡
ξ = c 11.57
d
u = = 0.165 < ⎢ξ2,3
= 0. 259
h 70 ⎣
h
⎤
⎥
⎦

Trascurando l’armatura in compressione, il procedimento diventa molto
più agevole. Infatti per l’asse neutro si ottiene:
y
c
=
As
⋅fsd
0.8⋅b
⋅f
′
cd
=
16.08⋅3304
0.8⋅
40⋅110
= 15.09 cm
In assenza di armatura in compressione non occorre verificare se l’armatura
compressa è snervata o meno. Si può direttamente valutare il momento ultimo.
Mu
G
= 0.8⋅
40⋅15.09⋅110
⋅
( 35 − 0.4⋅15.09)
+ 16.08⋅3304
⋅
⋅ ( 35 − 3.5)
= 3.212.017 daN cm = 32120 daN m
(lievemente
inferiore
a 33011
daN
m)

Domini di resistenza adimensionalizzati
Adimensionalizzazione
N
M
u
u, G
A
νu
=
µ u, G
=
( )
s ( As′
) ⋅ f
ω ω′ =
sd
2
b ⋅ h ⋅ fcd
′
b ⋅ h ⋅ fcd
′
b ⋅ h ⋅ fcd
′
h − d ′
ξ = y c / h ; δ′ = d ′/
h ; d/
h = = 1− δ′
h
Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali
equilibrio alla traslazione:
b⋅y
n
c ⋅ψ⋅fcd
′ Asi
⋅σsi
+ ∑ =
b⋅h⋅fcd
′ i=1 b⋅h⋅fcd
′ ( fsd
/ fsd
) b⋅
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione
diventano:
σ′ s σ
ψ ⋅ ξ + ω′ ⋅ + ω⋅
s
= νu
f f
⎡⎛
ψ ⋅ ξ ⋅ ⎢⎜
⎣⎝
1
2
⎞
⎟
⎠
⎤
− λ ⋅ ξ⎥
+ ω′ ⋅
⎦
σ′
f
s
sd
sd
⎡⎛
1
⎢⎜
⎣⎝
2
⎞
⎟
⎠
⎤
− δ′ ⎥
⎦
sd
− ω ⋅
σ
f
s
sd
⎡⎛
⋅ ⎢⎜
⎣⎝
1
2
nell’equazione di
N
h⋅f
′
⎞
⎟
⎠
cd
= ν
⎤
− δ′ ⎥
⎦
u
= µ
u,G

8
Domini di resistenza adimensionalizzati
ψ ⋅ ξ + ω′ ⋅
σ′ s
f
sd
+ ω⋅
ξ
2,3
= ξ
= −∞
4,5ξ=
, 6 3,4 1
σ
f
s
sd
=
ξ
ξ
= ξ0
=
−=
ξ = 5
+∞δ′
= 0.259 ⋅(1
−δ
′)
1
ε cu =0.0035
=
ν
u
0.75
ψ ⋅ ξ ⋅
⎡⎛
⎢⎜
⎣⎝
1
2
⎞
⎟
⎠
ω ω/ '= 1.00
d'/h = 0.05
⎤
− λ ⋅ ξ⎥
⎦
+ ω′ ⋅
σ′ s
f
sd
⎡⎛
⎢⎜
⎣⎝
1
2
⎞
⎟
⎠
⎤
− δ′ ⎥ − ω ⋅
⎦
σ
f
s
sd
⎡⎛
⋅ ⎢⎜
⎣⎝
1
2
⎞
⎟
⎠
⎤
− δ′ ⎥ = µ
⎦
DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
1.00
NORMATIVA ω
µ u
A' A' s A' s
s s ε
εcu=0.0035
ε's =0.0035
A' cu s
ε cu =0.0020 0.50
ε =0.010
ε's
y c su ε's ε's
y =y ε's
ω=0.5
c 3,4 ε's
y c=y5,6
h
h
y c=y4,5
h
c =
0.25
A
A s
s
ε s
A s
ε ε ε
su =0.010 su
=0.010 s
su ε s =0
b
ε =
su f /E
sd s
0
b
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.00
ν u
0.01 E E
0.01
′
1
1
−
−
=
1
Es
⎛
⎛⎞1
s s
⎞
0.66
, µ = −
u , G 1
−′⋅
ω′⋅
δ ′⋅
⋅
+
⋅⎜
− ⋅ δ ′ ⎟ = 0 = 0.15
1,2
⎜ −δ
′
G
⎟
u, −ω
′⋅ δ ′⋅ −
−
1
1
1
ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1,2
′
,
= −δ
′
′
0.52 20
, ⋅
53
2,3
2,3 u ,
f
u G
1
δ ′
⎝ 2
f
sd
3,4
ξ + ω −
ω
1.26
ξ ⋅
′⋅
⋅
⎝
2 ⎝ 2
=
57
3,4 ⎜ − λ⎛
1
ξ ⎟ + ω ⎜⎞
−δ
′ ⎟ + ⎛ 1
ω ⎜ −
δ ′ ⎟
u , 4,5
′
u, 5,6
= ψ + ωψ
ω ⋅ ξ0.0035
δ ′⋅
= 1.35 ⎛1
⎞ ⎛1
⎛1
⎞
µ ,
f
, 4,5
ψ
⎠
⎠
sd
⎝
2ξ
⋅
⎜′⋅
λ ξ
⎠
⎝
⎟ 2
+ ⋅0.0035
ω′⋅
⎠
⎜
′⋅ − ⋅ ′
⎝
2
δ
0. 32
=
28
5,6 = ψ ⋅ ⎜ −λ
⎛ 1
E
⎟+ ω ⎜ −
⎞
⎟− ω
⎛ 1 δ
s
⎞
ν = 1+
ω + ω′
= 2.0
⎜ − δ ′
u G
⎟
u
µ 0
6 , G
= ω′⋅
⋅ =
6 ⎜ −δ
′ ⎟ −ω
⎜ −δ
′ ⎟
sd
u
⎝2
⎠ ⎝2
⎠
fsd
⎝2
⎠
⎠
⎝ 2
⎝ 2
⎠
⎠
SAENZ
⎝ 2
⎝ 2
⎠
⎠
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
u,
G

Domini di resistenza adimensionalizzati
1.00
ω
µ u 0.80
0.75
0.50
0.25
DOMINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
ω ω/ '= 1.00
d'/h = 0.05
ξ=0
ξ=ξ 2,3 ξ=ξ 3,4
ξ=ξ 4,5
ξ=ξ 5,6
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.00
ν u

Confronto Tensioni Ammissibili-Stati Limite
Ultimi in termini di Dominio Resistente
M
f' cd
1.00
0.50
0.25
ω ω/ '= 1.00
d'/h = 0.05
0.80
bh 2
0.70
0.75
0.60
0.50
µ 0.40
u
ξ=0
Stati limite Ultimi
ξ=ξ 2,3 ξ=ξ 3,4
ξ=ξ 4,5
Tensioni ammissibili
ξ=ξ 5,6
ω
0.30
0.20
0.10
0
-1.50 -1.00 -0.50 0 0.50 1.00 1.50 2.00
ν u
1.5
N
bh
f' cd

Sezione rettangolare: problemi di
progetto in flessione e pressoflessione
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione in
forma adimensionale risultano:
ψ ⋅ ξ + ω′⋅
ψ ⋅ ξ ⋅
⎛
⎜
⎝
1
2
σ′
f
s
sd
+ ω⋅
σ
f
⎞
− λ ⋅ ξ⎟
+ ω′⋅
⎠
s
sd
σ′
f
s
sd
= ν
⋅
⎛
⎜
⎝
u
1
2
⎞
− δ′ ⎟ − ω⋅
⎠
σ′
ψ ⋅ ξ ⋅
2
f
A
B
( 1 − δ′ − λ ⋅ ξ) + ω′ ⋅
s
⋅ ( 1 − δ′ ) = µ u
Flessione
sd
progetto di h(b) ed As con b(h) ed il
rapporto delle armature assegnati
progetto di As e A′scon b ed h
assegnati
σ
f
s
sd
⋅
⎛
⎜
⎝
A
B
1
2
⎞
− δ′ ⎟
⎠
= µ
uG
Traslazione
Pressoflessione
Rotazione intorno
al baricentro
Rotazione intorno
all’armatura tesa
progetto di h(b) ed As noti b(h) e le
percentuali meccaniche di armatura
progetto della sezione e delle armature
mediante abachi (1/νu)-(e/h)

Flessione: progetto di h o b ed A s mediante Tabelle
σ′
σ
σ′
ψ⋅ξ⋅
1−δ′−λ⋅ξ
+ω′⋅
s
⋅ 1−2δ′
f
ψ ⋅ ξ + ω′⋅
s
+ ω⋅
s
= νu
( ) ( )
fsd
f
u
sd
sd
=µ
ρ =
ω′
ω
=
A′
A
s
s
ψ ⋅ ξ
ψ⋅ξ σ′
ω =
s
ψ⋅ξ⋅( 1−δ′−λ⋅ξ)
+ρ⋅
⋅ ⋅ 1−2δ′
− [( σs/ f sd ) + ρ ⋅ ( σ′ s/
fsd
)]
− σ / f +ρ⋅ σ′ / f f
M
µ =
u
u
= µ
2 c ρ
b ⋅ h ⋅ f ′
r
u
=
r
u
cd
() ξ + µ () ξ
( f ′ , f , δ′ , ξ , ρ)
cd
sd
=
h =
f
′
cd
f ′
⋅
cd
⋅
[( ) ( )]
s
sd
[ µ () ξ + µ () ξ ]
c
1
ρ
M
s
= r
sd
M
b b
[ µ () ξ +µ () ξ ]
c
1
ρ
⋅
u
u
⋅
b =
u
r
sd
2
u ⋅
( ) =µ u
M
h
u
2
A
s
b ⋅ h ⋅ f ′
= ω⋅
f
sd
cd
=
−
ψ ⋅ ξ
b ⋅ h ⋅
[ ρ ⋅ ( σ′ f + σ / f )] fsd
ζ
=
f ′
b ⋅ h ⋅
b ⋅ h ⋅
⋅
cd A
u
cd u cd
s = ⋅ = ⋅
s/ ζ ⋅ h ⋅ f
sd s sd
sd b ⋅ h ⋅ fcd
′ ζ fsd
µ
u
ω
=
µ
c
( ξ) + µ ( ξ)
ω
p
A
s
M
M
= ζ ⋅h⋅
u
f
sd
f ′
µ
f ′

Flessione: progetto di h o b ed A s mediante Tabelle
M
h = u
r ⋅
2
M
b r
u 2
b
= u ⋅
h
A
s
u
r
u
( f ′ , f , δ ′,
ξ , ρ)
= ru
cd sd
= M
u
ζ = ζ ( f ′ , , δ ′,
ξ , ρ )
ζ sd
⋅h⋅
f
cd
f
sd
1.0
0.8
A
0.6
0.4
B
0.2
C
0
ζ
progetto di h ed AsAcon b ed il rapporto
tot
delle armature assegnati
progetto di b ed As con h ed il rapporto
delle armature assegnati
Verifica delle sezioni inflesse
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
ξ
C
r u
ρ
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00

Coefficienti
r u e ζ
r
u
( f ′ , f , δ ′,
ξ , ρ)
= ru
cd sd
( f cd
′ , f , δ ′,
ξ ρ)
ζ ζ
,
=
sd

Esempio di progetto di
sezione rettangolare a
flessione semplice
lunghezza campate: L 1
= 4.2 ml;
L 2
= 5.3 ml;
base: b = 40 cm;
carico permanente: g k
= 4200 kg/m
L 1
L 2
L1
progetto dell’altezza h della sezione
e dell‘armatura
L2
carico accidentale: q k
= 2080 kg/m
- calcestruzzo: R ck
= 250 kg/cm 2
- acciaio: FeB38k
Amplificando i carichi caratteristici secondo i coefficienti parziali di sicurezza
γg= 1.4 e γq = 1.5, si ottiene il carico di progetto:
q
d
= 1 . 4 ⋅ g + 1.
5⋅
q = 1.
4 ⋅ 4200 + 1.
5⋅
2080 =
k
k
9000
kg/m
Il momento massimo lungo la trave si ha in corrispondenza dell’appoggio
intermedio e vale:
3 3
1 q ( L1 + L2
)
M = − ⋅
d
B,d
= −26404
kgm
8 L + L
1
2

Si esegue il progetto tabellare dell’altezza della sezione. La resistenza di
progetto ridotta per calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 risulta essere
0.
85⋅
0.
83⋅
250
2
f cd ′ =
= 110 kg/cm
1.
6
Adottando, in fase di dimensionamento un asse neutro di progetto ξ = 0.25,
che assicura buoni requisiti di duttilità, dalla tabella di progetto allo s.l.u. per
sezione rettangolare a semplice armatura relativa ad
2
2
f = 110 kg/cm = , 3800 /1.
15,
= 3304 kg/cm d / h = 0.
05
′cd
f sd
′
si ricavano i valori dei coefficiente r u
e ζ:
r
u
( f ′
ζ ( f ′
cd
cd
= 110,
= 110,
d′
/ h
d′
/ h
= 0.05,
= 0.05,
e quindi l’altezza minima della sezione:
h = r
M
b
26404
= 0 . 2302⋅
59.
14
0.
40
d
u ⋅
=
f
f
sd
sd
cm
= 3304,
= 3304,
ρ = 0) = 0.2302
ρ = 0) = 0.846
ξ r u
h[cm]
0.15 0.3239 83.22
0.20 0.2635 67.70
0.25 0.2302 59.14
0.30 0.2128 54.67
0.35 0.1995 51.25

L’armatura minima richiesta risulta:
M
u
2640400
2
As = =
= 15.74 cm
ζ ⋅h⋅
fsd
0.846⋅
60⋅3304
q = g k + qk
= 4200 + 2080 = 6280 kg/m
3 3
1 6280⋅
(4.
2 + 5.
3 )
M B = ⋅
= 18424 kgm
8 4.
2 + 5.
3
Per confronto si esegue il progetto della sezione secondo il metodo delle tensioni
ammissibili. In questo caso si considerano direttamente i carichi caratteristici:
per cui il momento massimo in corrispondenza dell’appoggio B vale:
La tensione ammissibile per Rck = 250 kg/cm 2 2
vale σ c = 85 kg/cm . Dalla tabella
di progetto alle t.a. di sezioni rettangolari a semplice armatura si ottiene:
r ( σ = 85; σ = 2200;
c
ζ ′(
σ
c
= 85;
s
σ = 2200;
s
d′
/ d
d′
/ d
= 0.05;
= 0.05;
n = 15) = 0.270
n = 15) = 0.878

da cui risulta
= r ⋅
M
b
18424
= 0 . 270⋅
= 58
0.
40
d
B h = d + d′
= 58 + 3 = 61 cm
Assumendo per l’altezza della sezione h = 65 cm (lievemente superiore al
valore ottenuto dal progetto agli s.l. con ξ = 0.25) si ottiene la seguente
armatura di progetto:
cm
A
s
=
M
ζ ⋅d
⋅σ
sd
=
1842400
0.878⋅
62⋅
2200
= 15.38
cm
2
La soluzione è sostanzialmente identica a quella ottenuta agli s.l.u..
Tuttavia con il progetto agli s.l.u. sono possibili molte altre
soluzioni con altezze variabili tra 51 ed 83 cm, pur con asse neutro
in zona duttile (0.15≤ ξ ≤ 0.35).

Pressoflessione: : abachi per il progetto della
sezione rettangolare
Il problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in
analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando
diagrammi che legano le variabili 1/ν u
ed e/h, essendo e l’eccentricità fornita
dal rapporto M uG
/N u
.
ψ ⋅ ξ + ω′⋅
ψ ⋅ ξ ⋅
⎛
⎜
⎝
1
2
σ′
f
s
sd
+ ω⋅
σ
f
s
sd
⎞
− λ ⋅ ξ⎟
+ ω′⋅
⎠
σ′
f
= ν
s
sd
⋅
u
⎛
⎜
⎝
1
2
⎞
− δ′ ⎟ − ω⋅
⎠
σ
f
s
sd
⋅
⎛
⎜
⎝
1
2
⎞
− δ′ ⎟
⎠
= µ
uG
Traslazione
Rotazione intorno
al baricentro
Si ottiene:
µ
ν
u
G
u
=
e
h
=
1
ν
ψ ⋅ ξ ⋅
u
=
ψ ⋅ ξ + ω′⋅
( σ′ /f ) + ω⋅ ( σ / f )
s
1
sd
[( 1/2)
− λ ⋅ ξ] + ω′⋅ ( σ′ s/
fsd
) ⋅[ ( 1/2)
− δ′ ] − ω⋅ ( σs/
fsd
) ⋅ [( 1/2)
− δ′ ]
ψ ⋅ ξ + ω′⋅ ( σ′ / f ) + ω⋅ ( σ / f )
s
sd
s
s
sd
sd

Pressoflessione: : abachi per il progetto della
sezione rettangolare
e/h
5
4
3
2
ω = ω'
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
1
0
0.5 0.4 0.3
ξ
0.15
0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d'/h = 0.05
1/ ν u

Pressoflessione: : abachi per il progetto della
sezione rettangolare
Progetto della sezione (b, h)
Fissata le percentuali delle armature superiore ed inferiore (uguali negli abachi
forniti), e note le sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale
limite, che dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire
all’elemento progettato; sulle curve (1/ν u
, e/h) relative alle prefissate percentuali
ω ed ω′ si leggono i valori di η = e/h corrispondenti; essendo nota la eccentricità
di progetto e, si possono ricavare l’altezza h e la base b della sezione mediante le
relazioni:
e
h = ,
η
Progetto delle armature
b =
ν
u
Nu
⋅ h ⋅
f
cd
A
s
A′
s
ω⋅ b ⋅ h ⋅
f
Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le
sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/h e νu;
negli abachi il punto di coordinate (1/ν u
, e/h) permette per interpolazione di
determinare il valore di progetto delle armature richieste.
=
=
sd
f
′
cd

Pressoflessione: : abachi per il progetto della
sezione rettangolare
Verifica della sezione
Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali
e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo
stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve
corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella
effettiva, si determina il valore di e/h e quindi della eccentricità corrispondente al
momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della
relazione:
M
d
<
M
u
=
N
u
⋅ η⋅ h
=
N
u
⋅ e

Esempio di progetto di sezione
rettangolare a pressoflessione
Si progetti agli s.l.u. una sezione rettangolare soggetta in condizioni di esercizio
alle seguenti sollecitazioni di calcolo:
M d = 2290500 kgcm N d = 72588 kg
I materiali da utilizzare sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm 2 ed acciaio
tipo FeB38k.
Per il progetto della sezione mediante gli abachi, si calcola preventivamente
l’eccentricità del carico:
M d 2290500
ed = = = 31.
55 cm
N d 72588
Fissando il valore di ξ=0.4 (generalmente compreso tra 0.2-0.45 che
corrisponde all’incirca alle zone 2”-3), dall’equazione di equilibrio alla
traslazione scritta in forma adimensionale, si ottiene un valore di progetto
di ν u:
:
σ′ s σ
1 1 1
ψ ⋅ ξ + ω′⋅ + ω⋅
s
= νu
ψ ξ = ν = = = 3.
u
f f
sd
sd
⋅ 125
ψ ⋅ξ
0.8⋅0.4
ν u

issando il valore di
=ω’=0.10 e d’/h=0.10
all’abaco si ottiene
/h:
1 = 3.125
ν u
e/h
5
4
3
2
ω = ω'
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
η
=
e / h = 0.63
1
0
0.5 0.4 0.3
ξ
0.15
0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d'/h = 0.10
1/ ν u
h
ed
= η
=
31.55
0.63
=
50.0
b Nu
72588
= =
= 41.2 cm
ν u
⋅h⋅
fcd
0.32⋅50⋅110
ω ⋅b⋅h⋅
f ′
cd
0.10⋅40⋅50⋅110
A A
6.65 cm
2
s
= ′
s
= =
=
f
3304
sd

Esempio di verifica di sezione
rettangolare a pressoflessione
Verifica agli s.l.u. di una sezione rettangolare
soggetta in condizioni di esercizio alle seguenti
sollecitazioni di calcolo:
N d
= 72588
kg
M d
= 2290500
kgcm
40
50
4φ16
4φ16
I materiali utilizzati sono calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm 2 ed acciaio tipo
FeB38k.
Le resistenze di calcolo del calcestruzzo di classe Rck = 250 kg/cm2 e per
l’acciaio FeB38k risultano:
0.
85⋅
0.
83⋅
250
2
2
f cd ′ =
= 110 kg/cm f sd = 3800 /1.
15 = 3304 kg/cm
1.
6
A VERIFICA MEDIANTE GLI ABACHI
Per effettuare la verifica mediante l’abaco occorre preventivamente calcolare
1/ν u
e ω=ω’:
Nu
72588
1
8.04⋅3304
ν
u
= = = 0.33 1 / νu
= = 3. 03 ω =ω ' = = 0. 12
b⋅h⋅
f ′ 40⋅50⋅110
0.33
40⋅50⋅110
cd

Dall’abaco si legge:
M
u
η = e / h = = 0.65 ⇒ M
u
= Nu
⋅η
⋅ h = 72588⋅0.65⋅50
= 2359110
N h
u
La verifica è soddisfatta risultando:
M d
2290500 < M = 2359110
=
u

B VERIFICA ANALITICA
Per la determinazione della posizione dell’asse neutro, si supponga
inizialmente di essere nella zona in cui le armature sono entrambe snervate.
L’equazione di equilibrio alla traslazione diventa
0 .8⋅b
⋅ y ⋅ f ′ + A′
⋅ f − A ⋅ f = N =
c
cd
s
sd
s
sd
u
72588
cui segue:
y
N
72588
0.
8⋅
40 ⋅110
u
c =
=
=
0.
8⋅
b ⋅ fcd
′
20.
62
cm
Essendo l’asse neutro nella zona 3 (11.75 ≤ 20.62 ≤ 32.42) segue:
M u
=
= 0.8⋅
20.62⋅
40⋅110⋅(25
− 0.4⋅
20.62) + 8.04⋅3304⋅
2384723
( 25 − 3)
⋅ 2 =
kgcm (poco diverso da 2359110 per via grafica)

La sezione circolare:verifica e progetto
C s
N
u
f' cd
2r
d = r G 0
y 0
G
G 0
A c,0.8yc
5
ϕ
r
A si
y c
d i
y' c
σ si
n
d'
Se si adotta per la valutazione del contributo statico del calcestruzzo l’ipotesi
semplificativa dello Stress-Block, il diagramma delle deformazioni al variare
della posizione dell'asse neutro serve esclusivamente a valutare il contributo
delle barre di armatura, in quanto quello del calcestruzzo è definito dal
prodotto dell’area A′ c al di sopra della corda posta a 0.8 y c
dal bordo compresso
per la tensione di progetto f ′ = 0.
80 ⋅
f
cd f cd
f
.83⋅
R
1.
ck
0
ck
′
cd
= α ⋅ fcd
= α = α
γ
c
α = 0.85
α = 0.80
nel caso di STRESS
BLOCK con sezione di larghezza
crescente dalla fibra maggiormente
compressa verso l’asse neutro

La sezione circolare:verifica e progetto
A c,0.8yc
C s
N
u
f' cd
2r
d = r G 0
y 0
G
G 0
ϕ
r
A si
y c
d i
y' c
σ si
n
d'
Determinazione della posizione dell’asse neutro
F
( y ) = A′
⋅f
′ + ∑ A ⋅σ − N = 0 [ f ′ = 0. 80⋅f
]
c
ϕ = arccos
c
cd
⎛ y′
⎜1−
c
⎝ r
⎞
⎟
⎠
il contributo statico del calcestruzzo si scrive
c
i
si
si
u
cd
con ϕ l’angolo relativo alla corda per
2
( ϕ − sen ϕ ⋅ cos ϕ) ⋅ r ⋅ fcd
′ = Ac′
⋅ fcd
N =
′
c
cd
y′ = 0.
8⋅
y
c

La sezione circolare:verifica e progetto
Determinazione della posizione dell’asse neutro
F
( y ) = A′
⋅ f ′ + ∑ A ⋅ σ − N = 0 [ f ′ = 0.
80 ⋅ f ]
c c cd i si si u
cd
cd
Da un punto di vista operativo, si osserva che la F(y c
) è una funzione crescente
della posizione dell’asse neutro y c
con valore negativo per yc = 0 e positivo per yc
= ∞, se Nu è minore del carico massimo sopportabile dalla sezione con eccentricità
nulla. Pertanto, individuate due posizioni dell’asse neutro cui corrispondono
valori di segno opposto della F(y c ), la posizione dell’asse neutro in una iterazione
successiva si ottiene costruendo una curva di errore che consente una rapida
convergenza verso la soluzione esatta.
yc,
i+
− yc,
i −
yc,
i+
− yc,
i −
= y −
⋅ F = y −
F
y
1
c,
i+ c, i−
i−
c, i+
⋅
Fi
+ − Fi
−
Fi
+ − Fi
−
F( y c )
L’arresto del procedimento iterativo
è regolato dalla disequazione
y c,i+1
i+
⋅ r
π 2
⋅
F
f ′
cd
( y )
c
+
A
s
⋅
f
sd
<
ε
F
F i+
y c,i−
con ε F
errore ammesso (per esempio
ε F
= 1/1000).
F i−
∆y c
y c,i+
h = 2r
y c

La sezione circolare:verifica e progetto
A c,0.8yc
C s
N
u
f' cd
2r
d = r G 0
y 0
G
G 0
ϕ
r
A si
y c
d i
y' c
σ si
n
d'
Determinazione del momento ultimo
M
u
G
=
= M cG
+ ∑i
⋅
0
=
⎛
⋅ ⎜
⎝
A
4
3
si
⋅ σ
si
⋅ d
dove il contributo del calcestruzzo si ottiene dalla seguente relazione:
M
cG
N
c
y
N
c
3
r ⋅ sen ϕ ⎞
⋅
⎟
2ϕ − sen2ϕ
⎠
i

La sezione circolare:progetto con abachi
Adimensionalizzazione
Nu
Mu,
νu
=
G
As
⋅ f
µ u,
G
=
ω =
sd
2
3
π⋅ r ⋅ fcd
′
2⋅
π⋅r
⋅fcd
′
2
π⋅ r ⋅ fcd
′
2r
− d′
ξ = y c /(2r) ; δ′ = d′
/(2r)
; d/
h = = 1− δ′
2r
Ad esempio, introducendo le quantità adimensionali
equilibrio alla traslazione:
A
n
c′
⋅ fcd
′ Asi
⋅ σ si N u
+ ∑ =
2
r fcd
′
2
i π ⋅ r fcd
′
2
π ⋅ ⋅ = 1
π ⋅ r ⋅ fcd
′
nell’equazione di
= ν
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione
diventano: Ac′
ω si
+ ⋅ ∑ σ
i = ν
2
u
π⋅r
n f
M
2 π⋅r
u
3
G
⋅f
′
cd
=
M
2 π⋅r
c
3
s
G
⋅f
′
cd
+
sd
ω
n
s
σsi
di
∑ i = µ
2⋅
π⋅f
sd
uG
u

La sezione circolare:progetto con abachi
Il problema del progetto dell’altezza e dell’armatura può essere condotto in
analogia al caso del metodo delle tensioni ammissibili, determinando
diagrammi che legano le variabili 1/ν u
ed e/(2r), essendo e l’eccentricità fornita
dal rapporto M uG
/N u
. e Mu
/ N
G u µ uG
= =
2 r 2 r νu
5
ω
e/2r
4
3
2
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
1
0
0.5 0.4 0.3
ξ
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d'/h = 0.05
1/
0.2
ν u

Pressoflessione: : abachi per il progetto della
sezione circolare
Progetto della sezione (r)
Fissata la percentuale geometrica complessiva di armatura e note le
sollecitazioni, si impone un valore di progetto del carico assiale limite, che
dipende essenzialmente dalla duttilità che si intende conferire all’elemento
progettato; sulla curva (1/νu, e/2r) relativa alla prefissata percentuale ω si legge
il valore di η = e/2r corrispondente; essendo nota la eccentricità di progetto e, si
può ricavare il raggio r della sezione, nonché l’armatura, mediante le relazioni:
r
e
= 2 ⋅η
A
s
=
ω⋅ π⋅ r
f
2
sd
⋅
f
′
cd
Progetto delle armature
Fissate la geometria della sezione e le caratteristiche dei materiali e note le
sollecitazioni, si calcolano preliminarmente i valori adimensionali e/2r e νu;
negli abachi il punto di coordinate (1/νu, e/2r) permette per interpolazione di
determinare il valore di progetto delle armature richieste.

Pressoflessione: : abachi per il progetto della
sezione circolare
Verifica della sezione
Note la geometria della sezione, la quantità di armature, le caratteristiche dei materiali
e le sollecitazioni, si calcola il valore del parametro adimensionale νu; assumendo lo
stesso come valore ultimo νu, dalla coordinata 1/νu e per interpolazione tra le curve
corrispondenti ai due valori delle percentuali di armatura comprendenti quella
effettiva, si determina il valore di e/2r e quindi della eccentricità corrispondente al
momento ultimo. La verifica pertanto si ottiene controllando il soddisfacimento della
relazione:
M
d
< M = N ⋅η⋅ 2r
u
u
=
N
u
⋅e

La sezione generica:presso-flessione retta
A Metodo generale di tipo numerico
B Verifica con diagramma Stress-block
Metodo generale
y
i+1
ε
y m
i+1 y i
i n
y M =
y i+1
y m =
y i
ε
ε M
σ M
σm
σ
f
Determinazione
dell’asse neutro
( yn
) = ( Nc
+ Ns
) − Nu
∑
( ⋅σ
)
N = , ,
s A
j s
j
s
j
x i+1 x i
y n
x
N
c,
i
=
∫
0
y M
σ
( y) ⋅b( y)
dy

La a sezione generica:presso-flessione retta
Metodo generale numerico
y
i+1
ε
y m
i+1 y i
i n
ε
ε M
σ M
σm
σ
y M =
y i+1
y m =
y i
x i+1 x i
y n
x
∑
( ⋅σ
)
N = , ,
s A
j s
j
s
j
σ s, j = fsd
per εs,
j ≥ εos
σ s, j = − fsd
per εs,
j ≤ −εos
σ s, j = Es
⋅εs,
j per εs,
j < εos

La a sezione generica:presso-flessione retta
Metodo generale numerico
y
i+1
ε
y m
i+1 y i
i n
ε
ε M
σ M
σm
σ
y M =
y i+1
y m =
y i
x i+1 x i
y n
x
( N N )
N = ∑ , + ,
c
i
cr
i
ct
i
N
cr,
i
ct,
i
( x − x ) ⋅ σ( y)
= i+
⎛ x
⎜
⎝
1
− x
− y
i
⎞
⎟ ⋅
⎠
∫
0
y m
=
i+ i yM
∫y
yM
m
m
N
1
σ
dy
( y) ⋅( y − y)
M
dy

La sezione generica:presso-flessione retta
y
Metodo generale numerico
i+1
ε
y m
i+1 y i
i n
y M =
y i+1
y m =
y i
x i+1 x i
y n
( M M )
M = ∑ , + ,
c
i
cr
i
M
u,
ct
i
=
M
u
ε
ε M
x
M
M
+
cr,
i
ct,
i
N
σ M
σm
σ
Determinazione del
momento ultimo
M = M +
u
∑
c
M
s
( A ⋅σ ⋅ y )
M = , , ,
M
s
c,
i
=
j
y
∫
M
0
s
σ
j
s
j
( y) ⋅b( y)
( x − x ) ⋅ σ( y)
= i+
1
x −
=
i + x y
1 i
M
⋅
y − y
∫y
M
m
i
( y − )
G
y G
u
⋅
n
m
∫
0
σ
y i
⋅
y
dy
( y) ⋅( y − y)
M
⋅
⋅
s
y
y
j
dy
dy

Sezione generica:
presso-tenso
flessione deviata
Nel caso della pressoflessione deviata sono incogniti sia la posizione che
l’inclinazione dell’asse neutro. Come nel caso del metodo di verifica alle tensioni
ammissibili è possibile pervenire alla soluzione del problema della verifica
individuando la sezione reagente per successive approssimazioni
Domini di resistenza per sezioni rettangolari
h
0.1h
Muy
µ y =
M Caso A: ρ hb 2
y
x
= ρ y
= 0
Caso B: ρ x
= ρ y
= 0.5
ρ A y i y
A
Caso C: ρ
i
x
= ρ y
= 1.0
Caso D: ρ x
= 0.5 , ρ y
= 0
ρ A Caso E: ρ ρ
N x i
x
= 1.0 , y
= 0
Caso F: ρ x
= 1.0 , ρ y
= 0.5
x
M x
f' cd
ρ x
=ρ y
=0
0.1h
0.1b 0.1b
b
ω=
4A i
+ 2ρ x
A i
+ 2ρ y
A i
( ) . f yd
bhf cd
Mux
µ x =
bh 2
f'

Sezione rettangolare: domini di resistenza
per presso-tenso
flessione deviata
ρ x =ρ y =0
Muy
µ y =
hb 2
f' cd
R ck
=250 kg/cmq-FeB44k:
R ck
=350 kg/cmq-FeB38k:
Mux
µ x =
bh 2
f' cd

Sezione rettangolare: domini di resistenza
per presso-tenso
flessione deviata
ρ x =ρ y =1
Muy
µ y =
hb 2
f' cd
R ck
=250 kg/cmq-FeB44k:
R ck
=350 kg/cmq-FeB38k:
Mux
µ x =
bh 2
f' cd

Sezione rettangolare: domini di resistenza
per presso-tenso
flessione deviata
ρ x =1
ρ y =0
Muy
µ y =
hb 2
f' cd
R ck
=250 kg/cmq-FeB44k:
R ck
=350 kg/cmq-FeB38k:
Mux
µ x =
bh 2
f' cd

Sezione rettangolare: presso-tenso
fles-
sione deviata (soluzione approssimata)
1.0
µ uy
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
β=0.5
β=0.6
β=0.8
β=0.7
β=0.9
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
ω=percentuale meccanica di armatura
complessiva della sezione
β
0.80
0.75
0.70
0.65
⎛
⎜
⎝
M
M
ux
uxo
⎞
⎟
⎠
α
⎛ M
+ ⎜
⎝
M
0.10
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.60
µ ux
0.55
0.50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.5
β ⎜
4
⎝ 1+ ω
w
uy
uyo
⎛
⎞
( ν,
ω) = max 0.5 + ⋅ ν − 0.4 , 0.5 + 0.05⋅( 1. − ω) ⎟⎠
⎞
⎟
⎠
α
=1
α = log(0.5)/log(β )
ν

Sezione rettangolare: presso-tenso
fles-
sione deviata (soluzione approssimata)
Confronto analisi parametrica-espressione approssimata
β
β
Inviluppo max
Inviluppo medio
Inviluppo min
⎛ 0.5
β ⎜ 4
⎝ 1+ ω
⎞
( ν,
ω) = max 0.5 + ⋅ ν − 0.4 , 0.5 + 0.05⋅( 1. − ω) ⎟⎠
ν
u
=
N
b ⋅ h ⋅
u
f ′
cd
ν
u
=
N
b ⋅ h ⋅
u
f ′
cd

Sezione rettangolare: presso-tenso
fles-
sione deviata (soluzione approssimata)
Confronto analisi parametrica-espressione approssimata
β
β
Inviluppo max
Inviluppo medio
Inviluppo min
⎛ 0.5
β ⎜ 4
⎝ 1+ ω
⎞
( ν,
ω) = max 0.5 + ⋅ ν − 0.4 , 0.5 + 0.05⋅( 1. − ω) ⎟⎠
ν
u
N
=
b ⋅ h ⋅
u
f ′
cd
ν
u
N
=
b ⋅ h ⋅
u
f ′
cd

Sezione rettangolare: presso-tenso
fles-
sione deviata (soluzione approssimata)
Cls: Rck = 250 kg/cm2
acciaio FeB44k
armature 16 φ16
N d= 45000 kg
e x = 15 cm
e y = 19 cm
h=50
y
x
⎛
⎜
⎝
M
M
ux
uxo
⎞
⎟
⎠
α
⎛ M
+ ⎜
⎝
M
uy
uyo
⎞
⎟
⎠
α
=1
α = log(0.5)/log(β )
b=40
Resistenze di calcolo del calcestruzzo e dell’acciaio:
0.83⋅
R
R
2
f ′ = 0 .85⋅
= 0.85⋅
ck
cd fcd
= 110 kg/cm f =
ak
sd =
1.6
γs
Calcolo dello sforzo normale ultimo adimensionale ν:
ν
N
=
b ⋅ h ⋅
u
f ′
cd
45000
= = 0.20
40⋅50⋅110
4400 =
1.15
3826
2
kg/cm

Determinazione di M uxo :
1 1
Il carico adimensionale vale = = 5
ν 0.20
La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il
copriferro, risultano:
A ⋅
ω = ω′ =
s fsd
x x
b ⋅ h ⋅ f ′
M
η
cd
y = e y / h =1.15
uxo = Nu
⋅ηy
⋅ h =
10.05⋅3826
=
40⋅50⋅110
e/h
= 45000⋅1.15⋅50
=
= 25875
kgm
5
4
3
2
1
0
ω = ω'
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
= 0.17
δ
x
d′
= =
h
3 =
50
0.06
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
0.5 0.4 0.3 0.2
ξ
0.15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d'/h = 0.05
1/ ν u

Determinazione di M uyo :
1 1
Il carico adimensionale vale = = 5
ν 0.20
La percentuale meccanica di armatura disposta in direzione x ed il
copriferro, risultano:
A ⋅
ω = ω′ =
s fsd
x x
b ⋅ h ⋅ f ′
M
η
cd
x = e x / b =1.05
uyo = Nu
⋅ηx
⋅b
=
= 45000⋅1.05⋅
40 =
=18900
kgm
10.05⋅3826
=
40⋅50⋅110
e/h
5
4
3
2
1
ω = ω'
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.05
= 0.17
SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U.
0.5 0.4 0.3 0.2
ξ
δ
y
d′
= =
h
0.15
3 =
40
0.075
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d'/h = 0.10
1/ ν u

Calcolo dei coefficienti β e α :
As,
tot ⋅ fsd
16⋅
2.01⋅3826
ω = =
= 0.56
b ⋅ h ⋅ fcd
′ 40⋅50⋅110
⎛ 0.5
⎞
β ( ν,
ω) = max ⎜0.5
+ ⋅ ν − 0.4 , 0.5 + 0.05⋅( 1.4 − ω) ⎟ =
⎝ 1+ ω
⎠
⎛ 0.5
⎞
= max ⎜0.5
+ ⋅ 0.56 − 0.4 = 0.55 , 0.5 + 0.05⋅
1.4 − 0.56 = 0.54 ⎟ = 0.
⎝ 1+
0.56
⎠
log(0.5) log(0.5)
α = = = 1.16
log( β)
log(0.55)
( ) 55
Domini di resistenza approssimato e verifica a pressoflessione deviata:
⎛
⎜
⎝
M
M
ux
uxo
⎞
⎟
⎠
α
⎛ M
+ ⎜
⎝
M
uy
uyo
⎞
⎟
⎠
α
⎛ 45000⋅0.19
⎞
= ⎜
⎟
⎝ 25875 ⎠
1.16
⎛ 45000⋅0.15⎞
+ ⎜
⎟
⎝ 18900 ⎠
1.16
=
0.58 < 1

Relazione costitutiva parabola-lineare
lineare
Indicating by ε the following ratio:
ε
ε =
c
εc0
the following two branches of the relationship are defined:
fc
2
f
f
f
c0
c
c0
= a ⋅ε −ε
= 1+
b⋅ε;
;
for
for
ε∈(0,1)
ε > 1
f cc
where:
a =1+ γ
b = γ −1
with:
fc0
+ E
γ =
f
E
t
=
f
cc
ε
t
c0
−f
⋅ε
c0
c0
=
f
f
c1
c0
f c1
f co
E o
ε co
E t
f co , f cc , ε cc
ε cc

DOMINI DI RESISTENZA (ν-µ)
C
C
ZONA 3 ZONA 6
Equazioni di equilibrio sezionali (adimensionali):
Nu
ν =
b ⋅h
⋅f
cd
σ
= ξψ + ω'
f
s
ys
' σ
+ ω
f
Mu
σ s '
σ s
µ = = ξψ ⋅(0.5
− λξ ) + ω'
(0.5 −δ
') −ω
(0.5 −δ
')
2
b⋅
h ⋅ f
f
f
cd
s
ys
ys
ys

PARAMETRO ψ
y
σ(
y)
dy
y
σ(
y)
dy
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
ψ
region2
ξ 2,3
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
unconfined
f l,d
region 6
ψ =
2 ∫
y1
y
c
⋅f
cd
ψ =
2 ∫
y1
h ⋅ f
cd
0.50
0.00
regions
3 to 5
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
ξ

PARAMETER λ
0.55
0.50
λ
λ
= 1−
y2
∫
σ(
y)
⋅ ydy
y1
2
y c
⋅ψ ⋅f
cd
λ = 1−
y2
∫
y1
2
h
σ(
y)
⋅ ydy
⋅ψ ⋅f
cd
0.45
0.40
0.35
0.30
0,6
0,5
0,4 f l,d
0,3
0,2
0,1
0,05
unconfined
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
ξ

Case A- region 2a, where ξ < 1 and α =α(ξ)≤1:
α =
Funzioni
ψ e λ
ε
ε
c
c0
ξ =
y c
h
α(
ξ)
α(
ξ)
( ξ)
= (1 +γ)
⋅ −
2 3
2
ψ λ( ξ)
Case B- region 2b where ξ < 1 and α=α(ξ) >1:
1 α(
ξ)
ψ ( ξ) = 1−
+ ( γ −1)
⋅
λ ( ξ ) = 1 −
3⋅α(
ξ)
2
Case C- regions 3, 4 and 5, where ξ ≤ 1 and α >1?(= ?constant):
1 α
ψ () ξ = 1 − + ( γ −1) ⋅ = cost
λ( ξ ) = 1 −
3⋅α
2
⎡
⎢
⎣
= 1 −
⎡
( 1+γ)
⎢ ( ) ⎤
1+γ
⋅ −α(
ξ)
⎥ ⎦
⎣
3
−
3
2
⎡
2
1 α ( ξ )
⎢ − + +
⎢⎣
12 2
⎡ 1
⎢1
− +
⎣ 3 ⋅ α ( ξ )
⎡
⎢ −
⎢⎣
⎡
⎢1
−
⎣
1
12
2
α
+
2
1
+
3 ⋅ α
⋅α(
ξ)
⎤
4
⎥
⎦
3
α ( ξ )
3
α ( ξ ) ⎤
⎥
2 ⎦
⎤
⎥
⎥⎦
( γ − 1)
2
( γ − 1) ⋅ ⋅ α ( ξ )
3
α
+
3
( γ − 1)
⋅
⎤
⎥
⎥⎦
2
⋅ α
( γ − 1 )
α
2
⎤
⎥
⎦
= cost
Case D- region 6a, where 11 (= ?constant):
2α
ψ ( ξ)
=
(1−4α+
λ( ξ ) =
2αξ
3
( ξ−1)
3
−2ξ
3
3
+ 6αξ
2
6αξ
2
−3α
ξ⋅
2
[ 1+
2ξ
+γ −2ξ(1
+γ)
]
2 4 4 3
3 3
6α ) ⋅ξ
+ α ⋅(ξ−1)
⋅(3+
ξ) −2α
ξ⋅
[ 2ξ + 2(1+
γ) −3ξ(1+
γ) ]
3 3 3 3 2 2
⋅{ 2α ⋅(ξ−1)
−2ξ
+ 6αξ −3α
ξ⋅
[ 1+
2ξ + γ−2ξ⋅
(1+
γ) ]}
Case E - region 6b, where ξ > α/(α−1) and α > 1 (= ?constant):
2ξ+α
ψ(
ξ)
=
( 2ξ−1)( γ −1)
2ξ
λ ( ξ)
=
3 2
3ξ+α( 3ξ−
2)( γ −1)
[ ξ+α( 2ξ−1)( γ −1)
]

Espressioni semplificate di ψ e λ
β ψ λ,ψ ψ
ψ
λ lim
λ
λ
ξ 2,3 ξ = 1
ξ
Region ψ λ
Region 2 (ξ ≤ ξ 23 )
ψ ξ
= ψ
λ = λ
ξ 23
Regions 3,4,5 (ξ 23 ≤ ξ ≤ 1)
Region 6 (ξ >1)
Ψ =
ψ = ψ
λ = λ
βξ −β+ .25
⋅Ψ
ξ−0.75
0 ξ−( 1−0.5⋅λ)
λ = 0.5 ⋅
ξ−0.75

ν−µ INTERACTION CURVES
ν−χ u
DIAGRAMS
0,6
0,0
ν u
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
0,2
0,6
0,5
0,4
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
f l,d
µ u
0,6
10(χ u d)
0,8
Unconfined
0,4
ω = ω' = 0,1
d'/h = 0,05
0,2

ν−µ INTERACTION CURVES
ν−χ u
DIAGRAMS
0,6
0,4
0,2
0,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
0,2
µ u
0,6
0,5
0,4
0,3 f l,d
0,2
0,1
0,05
Unconfined
ν u
0,4
concrete failure
0,6
10(χ u d)
steelfailure
ω = ω' = 0,3
d'/h = 0,05

INCREMENTO DI DUTTILITA’
χ
=
χ
χ
u,c
u,nc
≅
χ
χ
u,c
y,c
⋅
χ
χ
y,nc
u,nc
I ''(
f
χ
l,
d
) =
ε
ε
ccu
cu
ψ
ψ
c
un
=
0.0035+
0.015⋅
0.0035
f
l,
d
1.16
⋅
f
l,
d
+ 0.3f
0.8
l,
d
+ 0.8
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
I 0,6
χ
0,5
0,4
0,3
I' χ = 30ν u -0,7
f l,d
d'/h = 0,05
0,2
0,1
0,05
Unconfined
ν u

Influenza di ξ sulla duttilità della sezione
y c =-
A
1
2
-10
3
4
3.5
2
f /E
sd s
5
6
y 2,3
y c =
C
B
y 3,4
y 4,5
Al crescere di ξ si riduce la duttilità
della sezione; per le travi si
consigliano valori di ξ compresi tra
0.1-0.45.
La normativa consente il calcolo
plastico senza richiedere il controllo
delle rotazioni plastiche se ξ è
minore di 0.25 ed il calcolo elastico
con ridistribuzione se ξ è minore di
0.45

H
SEZIONI PRESSOINFLESSE
DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (M – φ – N)
As’
d’
x
d
εc
ε’a
χ
T’
λx
C
M
N
As
b
εa
T
• Determinazione del diagramma momento-curvatura (M-φ) a sforzo
normale N costante.
• Per ogni assegnato valore della curvatura φ si determina il valore
dell’asse neutro delle deformazioni tale che sia soddisfatto
l’equilibrio alla traslazione: N = C + T’ – T .
• Dall’equazione di equilibrio alla rotazione si determina il momento
corrispondente, ottenendo quindi un punto di coordinate (M , φ).

DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (M – φ – N)
M
M u
M y
φ y
φ u
φ
• Determinazione della curvatura di snervamento φ y (snervamento
delle armature) e della curvatura ultima φ u (raggiungimento della
deformazione ultima nel calcestruzzo).

Diagrammi Momento-Curvatura al variare di N
M(tm)
80
60
40
20
ν =0.25
ν =0
ν =
Ν
b d f’cd
100 200 300 400 500 600 700
70
40
4φ20
4φ20
Rck 250 kg/cmq
FeB44k
φ 10 6
ν
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
φ u /φ y
18,4
12,5
8,62
5,83
4,09
3,10

MECCANISMO GLOBALE E
MECCANISMO LOCALE DI COLLASSO

MODELLI DI CAPACITÀ
ravi e pilastri: flessione con e senza sforzo normale
deformativa θ di travi e pilastri è definita come rapporto tra l
spostamento trasversale della sezione di momento nullo e la distanza di tal
La capacità deformativa
sezione dalla cerniera plastica (luce(
di taglio).
L v
=
M
V
M-
Elemento trave
Lv
M+
La capacità deformativa così valutata si differenzia in relazione ai
3 stati limite considerati.
• Stato limite di Danno Limitato
• Stato limite di Danno Severo
• Stato limite di Collasso
(SL-DL)
(SL-DS)
(SL-CO)

Capacità rotazionale
L’espressione più semplice:
θ
pl
= φ ⋅l
= φ
pl
pl
pl
⋅
( 0.5⋅
d )
La lunghezza della cerniera plastica considerando il
rapporto M u /M y e la snellezza di taglio (λ=M u /Vd)
l
'
pl
= 0.5⋅
M
u
= 0.5⋅ψ ⋅l
− M
M
v
u
y
⋅
M
V
u
=
⎛
0.5 ⋅ ⎜
1 −
⎝
f
f
y
t
⎞
⎟
⋅l
⎠
v
=

Influenza del cedevolezza del
vincolo/nodo
ε
ε
l
a,
y
=
db
⋅ f y db
⋅ f
la,
u =
4 ⋅τ a,
y 4 ⋅τ a,
t
u
ε
θ
∆ θ
≅ φ
pl
pl , s
∆la,
u − ∆l
=
*
d
db
⋅ft
⋅ψ ⋅
4⋅
τ
a,
u
a,
y
⎛ ε
= ⎜
⎝
su
− ε
d
*
sy
⎞ ⎛ f
⎟ ⋅⎜
⎠ ⎝
t
− f
f
t
y
⎞
⎟
⋅ l
⎠
a,
u
≅

Le espressioni della lunghezza
della cerniera plastica
l
pl
' ''
ft
= lpl
+ lpl
= 0 5⋅ψ⋅
l v + ψ⋅
⋅db
= k1
⋅lv
+ k 2
4⋅τ
.
d
a,u
⋅d
b
l
pl
= 0.08⋅l
+ 0. 022⋅
f ⋅ Priesteley (1996)
v
y
b
l
f
t
pl = 0.5⋅ψ ⋅lv
+ 1.2⋅ψ ⋅ ⋅db
Lehman (1998)
4⋅
τa,
y
l
l
pl
pl
= 0.12 ⋅ l + 0. 014 ⋅f
v
y
c
⋅d
b
Panagiotakos &
Fardis (2001)
0.24⋅fy
⋅db
= 0.1⋅lv
+ 0.17h
+
O.P.C.M. 3274
f

Lunghezza della cerniera plastica in
funzione della luce di taglio (M/V)
400
350
300
lpl [mm]
250
200
150
100
50
0
Priestley
Lehman
Pan & Fardis
Modello generale
0 500 1000 1500 2000 2500
L V [mm]

La capacità rotazionale rispetto alla
corda secondo O.P.C.M. 3274
Opzione n.1
(regressione numerico-sperimentale)
θ
u
=
γ
el
⋅0.016⋅
(
ν
)
⎡max( 0.01, ω'
)
0.3 ⋅
⎢
⎣ max
( 0.01, ω)
⋅ f
⎤
⎥
⎦
0.225
⎛ l
⋅
ν
⎜
⎝ h
⎞
⎟
⎠
0.35
1 c
c
⋅ 25
( α ρsx
fwy
/ f ) 100ρd
⋅1.25
Opzione n.2 (teorica con taratura sperimentale)
θ
u
=
γ
1
el
⎛
⋅ ⎜ θ
⎝
y
+
0.5L
⎞⎞
( )
⎛ pl
φ u − φ y ⋅ L ⋅ ⎜ ⎟
pl
1 −
⎟ ⎝ Lv
⎠⎠
con
Lv
⎛ h ⎞
θ y = φ y + 0.0013⋅
⎜ 1+
1.5 + ⋅φ
L
⎟ 0. 13
3 ⎝ v ⎠
y
d
b
⋅f
f
c
y

MODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE
Diagrammi Momento-Rotazione
tazione allo snervamento:
θ
u
= θ
y
+
0.5L
⎛ pl
( ) ⎟ ⎞
φ u − φ y ⋅ Lpl
⋅ ⎜1
−
⎝ LV
⎠
tazione ultima:
y
Lv
⎛ h ⎞
= φ y + 0.0013⋅
⎜ 1+
1.5 + ⋅φ
L
⎟ 0. 13
3 ⎝ v ⎠
y
d
b
⋅f
f
c
y
M
Ordinanza n. 3274 del 20 Marzo 2003
M u
M y
Stato Limite di Danno Limitato DL
Stato Limite di Danno Severo DS
Stato Limite di Collasso CO
θ y 3/4 θ u θ u
θ

MODELLI DI CAPACITÀ
My
Rotazione di snervamento
Lv
Lv
⎛ h ⎞
θ y = φ y + 0.0013⋅
⎜ 1+
1.5 + ⋅φ
L
⎟ 0. 13
3 ⎝ v ⎠
y
d
b
⋅f
f
c
y
Contributo
flessionale
Contributo
tagliante
Scorrimento
delle barre

MODELLI DI CAPACITÀ
Mu
My
Rotazione ultima
Lv
θ
u
= θ
y
+ ( φ
u
− φ
y
) L
pl
⎛
⎜
1 −
⎝
0.5L
L
V
pl
⎞
⎟
⎠
φu
φy
φ y
è la curvatura a snervamento valutata
considerando la deformazione di
snervamento dell’armatura tesa
φ u è la curvatura ultima valutata
considerando la deformazione ultima del cls
Lpl
Lv

MODELLI DI CAPACITÀ
I valori di massima capacità deformativa sono differenti in
relazione a i 3 stati limite
SL-DL
θ
u,DL
=
θ
y
SL-DS
SL-DC
θ
θ
u,DS
u,CO
= θ
= θ
u
y
+
= θ
3
4
y
( θ
u
+ ( φ
−
u
θ
y
)
− φ
y
)L
pl
⎛ ⎜1
−
⎝
0.5L
L
V
pl
⎞
⎟
⎠

Un programma sperimentale
FRP properties
Fiber t j [mm] E FRP [GPa] f u,FRP [MPa] ε u,FRP [%]
CFRP* 0.22 390 3000 0.80
GFRP** 0.48 80.6 Linea 2- Obiettivo 2560 NODI: 3-4
*commercialized by SIKA; ** commercialized UR by dell’Università MAPEI di Salerno

Test set-up

Tests on FRP confined columns

Tests on FRP confined columns

Hysteretic loops and
load-displacement displacement envelopes
olumn reinforced with smooth rebars (barre lisce)
“more pinching”
olumn reinforced with deformed rebars (barre ad ader. migliorata)
“less pinching”

Hysteretic loops and
load-displacement displacement envelopes
Lateral Force [N]
120000
Fmax
80000
0.90 Fmax
40000
C2-S-A1
0
r
-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200
-40000
0.90 Fmax
-80000
Fmax
-120000
Displacement [mm]
Lateral Force [N]
120000
80000
40000
0
-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200
-40000
C3-S
C1-S-G
C4-S-G
C10-S-C
-80000
C13-S-C
C2-S-A1
C11-S-A1
C6-S-A2
-120000
Displacement [mm]
Fmax
120000
120000
Lateral Force [N]
0.90 Fmax
80000
40000
0
-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200
-40000
C9-D/R
C9-D
-80000
0.90 Fmax
-120000
Fmax
Displacement [mm]
Lateral Force [N]
80000
spostamento al
collasso convenzionale
40000
0
-160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160
-40000
C9-D/R
C9-D
-80000
C3-S/R
C3-S
-120000
Displacement [mm]

ORDINE DEGLI INGEGNERI
Corso di aggiornamento sulla normativa sismica
gen. 2006 – mar. 2007
STATO LIMITE ULTIMO
PER TENSIONI NORMALI
Prof. Ciro FAELLA
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno

ORDINE DEGLI INGEGNERI
Corso di aggiornamento sulla normativa sismica
gen. 2007 – mar. 2007
La verifica a taglio delle travi in c.a.
allo Stato Limite Ultimo (S.L.U(
S.L.U.) .)
Prof. Ciro FAELLA
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno
1

Articolazione punti significativi
1) Il comportamento sperimentale
2) Le travi senza armatura trasversale
3) Le travi con armatura, verifica e progetto
4) Confronti tra D.M. ed Eurocodice
5) Applicazioni
6) Prescrizioni normative per elementi inflessi
2

•Alcune
incongruenze della
teoria tecnica:
* nelle fessure
dovrebbe essere
nulla anche la τ
oltre che la σ
* nella teoria
tecnica si ammette
che la resistenza a
trazione è nulla, ma
allora anche la
resistenza
tangenziale
dovrebbe essere
nulla.
3

Il comportamento sperimentale
• In elementi inflessi, , per valori bassi del
taglio, le membrature si comportano come
solidi di materiale omogeneo ed isotropo,
senza fessurazioni
• Al crescere del carico e quindi delle
sollecitazioni flettenti e taglianti compaiono
fessurazioni ortogonali alle isostatiche di
trazione ovvero parallelamente a quelle di
compressione.
4

Il comportamento sperimentale
• In travi semplicemente appoggiate,
sottoposte a carichi gravitazionali distribuiti
o concentrati ai terzi, si osservano in
mezzeria, dove la flessione è massima ed il
taglio minimo, fessure sostanzialmente
verticali;
• Verso gli appoggi, dove il momento è
minimo ed il taglio massimo, si osservano
lesioni inclinate a 45° rispetto
all’orizzontale.
5

Successivamente alla fessurazione, il
meccanismo resistente è affidato ad una
molteplicità di meccanismi che
interagiscono tra di loro:
• Meccanismo reticolare alla Ritter-Morsch
• Resistenza delle bielle di calcestruzzo
incastrate al corrente compresso:
• Effetto d’ingranamento degli inerti
• Effetto spinotto
• Effetto arco
6

Effetto ingranamento degli inerti
7

Effetto spinotto
8

Comportamento ad arco
9

La trave priva di armatura a
taglio
10

Il meccanismo a pettine
∆M
V⋅a
Q = =
* *
d d
⎛ a ⎞
Mw
= Q ⋅ ⎜y
− ⎟
⎝ 4⎠
N
w
=
Q
2
2
σ
t
=
M
W
w
−
Nw
b⋅h
σ
t
=
Q⋅(y
−a / 4)
2
b⋅h
/ 6
−
Q⋅
2 / 2
b⋅h
11

12
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅
⋅
=
⋅
3
1
12
12
1
4
1
12
1 2
a
y
d
b
V
a
y
a
b
Q
f
.
*
ctd
( )
[ ]
ctd f ctd
d
b
.
f
d
b
a
y
.
V
*
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
= 25
0
1/3
/
12
2
1
( ) δ
⋅
ρ
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
≤
l
ctd
w
Rd
d
r
f
d
b
.
V
V 50
1
25
0
1
Essendo
2
/
a
h
:
essendo =

V Rd1 : Parametri
le dimensioni dell’altezza utile e della larghezza dell’anima;
d, bw
dimensioni trave
r = 1.6−d>1 [d in metri]
un coefficiente che tiene conto dell’effetto dell’ingranamento degli inerti, funzione
del rapporto tra l’altezza utile d della trave e la dimensione dell’inerte stesso,
trascurabile al crescere di d oltre 0.6 m
1+50ρ l
(≤2)
un coefficiente dipendente dalla percentuale d geometrica di armatura in zona tesa
ρ l
=A sl
/(b w
⋅d) per tener conto dell’effetto spinotto, che si esplica attraverso una coppia
di forze trasversali all’armatura che riduce il momento M w
;
δ = 1
δ = 0
(flessione semplice)
(tensoflessione)
M
0
δ = 1+
≤ 2
M Sdu
(pressoflessione)
13

δ essendo un coefficiente funzione dello stato di sollecitazione normale della sezione,
che assume il valore 0 in presenza di tensoflessione, 1 in presenza di flessione pura,
δ=1+ M 0
/M Sdu
nel caso di pressoflessione con M 0
il momento che determina una
tensione nulla nella fibra meno compressa della sezione ed M Sdu
il momento che
sollecita la sezione in cui si effettua la verifica a taglio .
Il momento M 0
può essere espresso in funzione del raggio di nocciolo r n:
M
0
=
N
⋅
r n
hL’EC2 fornisce per V Rd1 una espressione poco diversa:
V
Rd
[ τ ( ) ] Rd ⋅r
⋅ 1.2 + 40 ρl
+ 0.15 σN
⋅bw
d
1 =
⋅
[ 0.
25⋅
f ⋅ r ⋅ ( 1+
50 ρ ) + 0.
σ ] ⋅b
d
Vd ≤ VRd
1
= ctd
l 15
N w ⋅
14

Valori di τ Rd
=0.25*f
ctk
Rd =0
ctk/γ ed
ed fctk
15

In sintesi, nelle precedenti
relazioni:
• (1+50 ρ l ) rappresenta l’effetto spinotto
• r =(1.6-d) rappresenta l’eff
eff. . ingranamento
• δ = effetto dello sforzo assiale
16

La trave con armatura trasversale
• Nella trave con armatura trasversale il fonda-
mentale meccanismo resistente successivamente
alla formazione delle fessure inclinate è quello
della struttura reticolare di Ritter-Morsch
in cui
oltre ai correnti l’uno l
teso e l’altro l
compresso, si
distinguono i montanti inclinati compressi,
disposti secondo le isostatiche di compressione e
determinati da due fessure successive nonché le
diagonali tese realizzate dalle armature a taglio
disposte secondo inclinazioni variabili in genere
tra 45° e 90°.
17

Meccanismo di Ritter-MÖrsh
rsh
18

M ( x + ∆ x ) − M ( x ) ∆ M V u ⋅ d
Q =
= = =
*
* *
d
d d
*
V
19
ferro piegato
fibre compresse
di calcestruzzo
fibre compresse
di calcestruzzo
fibre compresse
di calcestruzzo
ferro piegato
staffa
u
Q
Q Q
N t
Q Q
Q
90 45 45 a 45
N
45 p
N N N t p
t
N p

Sforzo nel puntone (N(
p ) e
nel tirante (N(
t )
2
NP ⋅ − N t ⋅sin
α =
2
0
2
N P ⋅ + Nt
⋅ cosα
=
2
V
u
N
p
=
2
2
⋅
V
u
⋅ sin α
( sin α + cos α)
=
2 ⋅Vu
1+
cot g α
N
t
=
Vu
sin α + cos α
20

TAGLIO
Il valore limite dello sforzo tagliante
secondo il D.M. ’96 (V Rd2 )
N
V
u
p
=
=
2 ⋅Vu
=
1+
cot gα
0.9 ⋅ d
⋅ b
2 ⋅ 2
w
⋅
0.9 ⋅ d
⋅ b
2
f
cd
w
⋅ (1 + cotα)
=
⋅
f
cd
0.45 ⋅
d
⋅ b
w
⋅
f
cd
⋅ (1 +
cotα)
V
( + cot α)
= 0.
30 ⋅ b ⋅ d ⋅ f ⋅ g
Rd 2
w cd 1
21

Il valore limite dello sforzo
tagliante secondo l’EC2 (V Rd2 )
V
Rd
2
( 1+
cot α)
= 0.50 ⋅ ν ⋅ b ⋅ 0.9 ⋅d
⋅f
⋅ g
w
cd
V
Rd
2
( 1 + cot α)
= 0.30 ⋅ b ⋅ d ⋅ f ⋅ g
w
cd
Secondo
D.M. 96
ν =
0. 7 − f ck /200 con fck
2
in N/mm
( 0.
7 − 0.
83⋅
25/200) 0 268
k = 0 . 50 ⋅0.
9 ⋅
= .
22

Verifica della sezione
a)
V d ≤ V Rd1
(non necessaria
l' armatura)
b) V < V ≤
V
Rd 1 d Rd 2
(progettar
e
l'
armatura)
c ) V d > VRd
2
(sezione
non
idonea)
23

CALCOLO ELASTICO ALLE
TENSIONI AMMISSIBILI
τ ≤
⎡
τ
⎢
⎣
co
=
4
+
R
ck
−150⎤
;
75 ⎥
⎦
non necessarial'arm.
τ
co
≤ τ ≤
⎡
τ
⎢
⎣
c1
= 14+
R
ck
−150⎤
;calcoloarm.
35 ⎥
⎦
τ
c1
≤ τ;
sezionenon idonea
24

Progetto Armatura a taglio
(D.M. ’96)
V V = V + V
Sdu
≤
3
Rd
sd
cd
N
t
=
Vu
sin α + cos α
A
fs
⋅
f
sd
⋅
0.
9d
s
=
Vsd
senα + cosα
V
sd
0.
9d
= Afs
⋅ fsd
⋅ ⋅ cos
s
( sinα + α)
V
= 0.
f ⋅ b ⋅ d
cd 6
ctd
w
⋅ δ
A
fs
=
0.
9
d
⋅
( Vd
−Vcd
) ⋅ s
f ⋅ ( sinα + cos α)
yd
s
=
A
fs
⋅
f
yd
⋅
0.
9d
⋅ ( sin α + cos α)
( V −V
)
d
cd
25

Progetto Armatura a taglio
V V = V + V
Sdu
≤
3
Rd
(EC2)
sd
cd
N
t
=
Vu
sin α + cos α
A
fs
⋅
f
sd
⋅
0.
9d
s
=
Vsd
senα + cosα
V
sd
0.
9d
= Afs
⋅ fsd
⋅ ⋅ cos
s
( sinα + α)
[ 0.
25⋅
f ⋅k
⋅( 1+
50ρ
) + 0.
σ ] ⋅b
d
Vcd = VRd1
= ctd
l 15
N w ⋅
A
fs
=
( V −V
)⋅ s
d
cd
s
=
A
fs
⋅
f
yd
⋅ 0.
9d
⋅
( sin α + cos α)
26

EFFETTO DELLA FESSURAZIONE A TAGLIO SULLA
ARMARURA A FLESSIONE (travi senza armatura a taglio)
N
t
⋅
d
*
=
M
Sdu
*
( x ) + V ⋅ d cot β
Sdu
M
( x) = M ( ) Sdu x + VSdu
⋅d
( β = 45°
)
′
*
P
d*
β
N t
x
d * cotgβ
27

EFFETTO DELLA FESSURAZIONE A TAGLIO SULLA
ARMARURA A FLESSIONE (travi con armatura a taglio)
N
t
⋅ d
*
+ V
Sdu
⋅ cot g α ⋅
d
2
*
+ V
Sdu
⋅ cot gβ ⋅
d
2
*
=
M
Sdu
*
( x) + V ⋅ d cot gβ
Sdu
M
'
Sdu
(x)
=
M
Sdu
* ⎛
⎞
( x) + VSdu
⋅ d ⋅
⎟
⎠
⎜
⎝
cot g β − cot g
2
α
P
α
d*/2
V
V cotg α
d* /2
β
d * cotgβ/2
N t
28

Ampliamento del diagramma del
momento
Z
C
z
R
z
z
z
z
Rz
M
z
z
z
29

Le prescrizioni regolamentari
• D.M.’96 ed EC2 in assenza di armatura
M′
( x) = M ( x) + V ⋅ d
*
Sdu
Sdu
30

Le prescrizioni regolamentari
• D.M.’96 ed EC2 in presenza di armatura
M
M
'
Sdu
'
Sdu
(x)
(x)
= M
≥
M
Sdu
( x)
x
+
V
Sdu
⋅d
+ 0.2⋅
d
Sdu( )
*
*
⋅(cotgβ−cotgα)
31

Il metodo dell’inclinazione variabile
delle bielle (1)
• Oltre al metodo in precedenza esposto che si
definisce metodo standard, l’armatura l
a taglio agli
stati limite, si può determinare con un metodo
alternativo, che si basa su considerazioni sia
sperimentali sia teoriche legate alla analisi limite.
• Infatti si osserva che le fessure a taglio si formano
con inclinazione prossima a 45°, , ma, al crescere del
taglio, l’inclinazione l
delle fessure che
progressivamente si estendono, evolve incurvandosi
sull’orizzontale ed inoltre le isostatiche di
compressione attraversano le fessure iniziali deter-
minando bielle compresse con una inclinazione
media minore dei 45° iniziali.
32

Il metodo dell’inclinazione variabile
delle bielle (2)
• Tale comportamento concorda con il teorema
statico dell’analisi limite che in presenza di una
molteplicità di campi di sollecitazione
staticamente ammissibili (ovvero i possibili
sistemi reticolari di
Morsch
con differenti
inclinazioni del puntone compresso) individua il
moltiplicatore di collasso a taglio nel massimo tra
i moltiplicatori associati, che generalmente non
coincide con il moltiplicatore relativo alle bielle a
45°.
33

Il metodo dell’inclinazione variabile
delle bielle (2)
• Tale comportamento concorda con il teorema
statico dell’analisi limite che in presenza di una
molteplicità di campi di sollecitazione
staticamente ammissibili (ovvero i possibili
sistemi reticolari di
Morsch
con differenti
inclinazioni del puntone compresso) individua il
moltiplicatore di collasso a taglio nel massimo tra
i moltiplicatori associati, che generalmente non
coincide con il moltiplicatore relativo alle bielle a
45°.
34

Il metodo dell’inclinazione variabile
delle bielle (3)
• In effetti tale considerazione richiederebbe la
determinazione dei moltiplicatori di collasso per
più
sistemi reticolari caratterizzati da diverse
inclinazioni del puntone compresso, al fine di
determinarne il massimo.
• Per le pratiche finalità è sufficiente fissare un
angolo β minore di 45° e valutare la capacità
portante massima legata alla resistenza del
puntone compresso e del tirante.
35

∆ M V ⋅ d
Q =
=
d d
*
u
= V
* *
36
ferro piegato
fibre compresse
di calcestruzzo
fibre compresse
di calcestruzzo
fibre compresse
di calcestruzzo
ferro piegato
staffa
u
Q
Q Q
N t
Q Q
Q
90 45 45 a 45
N
β
45 p
N N N t p
t
N p

Sforzo nel puntone (N(
p ) e
TAGLIO
nel tirante (N(
t )
NP ⋅senβ − N t ⋅sin
α =
0
N P ⋅cosβ + N t ⋅cosα
=
V
u
N p
V ⋅ sinα
=
u
=
sinα
⋅cos
β + cosα
⋅ sen β
V
N =
u
t
senα
⋅cot
β + cosα
Vu
cos β + sen β ⋅cotα
37

TAGLIO
Il valore limite dello sforzo tagliante
secondo il D.M. ‘96(V Rd2 )
Uguagliando N p allo sforzo di compressione massimo
sostenibile (ν.b w . d* . senβ . f cd ), ed N t allo sforzo di
trazione massimo (A sw . f ywd . d * /s), si ottiene:
V
V
uc
us
= ν ⋅b
=
A
sw
w
⋅f
⋅d
*
ywd
⋅f
cd
⋅d
*
cotβ + cot α
⋅
2
1+
cot β
/ s ⋅sen
α ⋅(cot
α +
cotβ)
38

Il taglio massimo attribuibile è
allora espresso nel modo seguente:
V =min Rd2 (Vuc , V us )
Occorre poi imporre che la rottura del tirante preceda quella del
puntone per avere una rottura duttile. Tale condizione si pone alla
prima fessurazione (β=45 o ) imponendo V us ≤ V uc . Si ottiene allora
una condizione sull’armatura per la quale la fessurazione
interviene prima o contemporaneamente alla rottura del puntone:
⎡
⎢ω
⎣
w,lim
=
A
b
sw
w
⋅f
⋅s
⋅f
ywd
cd
⎤
⎥
⎦
≤
0.5⋅ν
sen α
39

In presenza di staffe (α=90(
=90°) le
TAGLIO
relazioni precedenti si semplificano
V
uc
= ν ⋅
b
w
⋅
d
*
f
cd
⋅
tan
1
β +
cot
β
V
us
=
A
sw
⋅
f
ywd
⋅
d
*
/
s
⋅
cot
β
A
b
w
sw
⋅f
⋅s
⋅f
ywd
cd
≤
0.5
ν
40

LIMITAZIONI NORMATIVE
0 .5 < cot g β <
2
con arm.long.interrotte
0 .4 < cot g β <
2.5
con arm.long.
non
interrotte
ρ
w
=
s
Asw
⋅bw
⋅sen
α
150
≤
R
ck
≤
250;
ρ
w
=
0.09%
250
<
R
ck
≤
450;
ρ
w
=
0.13%
450
<
R
ck
≤
600;
ρ
w
=
0.16%
41

TAGLIO
b= 30 h= 60
1,400
1,200
1,000
1.45 T c1 /bd
V Rd2 /bd
w [%]
0,800
0,600
1.45 T c0 /bd
T.A.
DM 96
EC2
0,400
V Rd1 /bd
0,200
0,000
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00
V Sd /bd [kg/cm 2 ]
42

TAGLIO
b= 100 h= 25
1,400
1,200
1.45 T c1 /bd
V Rd2 /bd
1,000
w [%]
0,800
0,600
1.45 T c0 /bd
T.A.
DM 96
EC2
0,400
V Rd1 /bd
0,200
0,000
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00
V Sd /bd [kg/cm 2 ]
43

TAGLIO
b= 60 h= 40
1,400
1,200
1,000
1.45 T c1 /bd
V Rd2 /bd
w [%]
0,800
0,600
1.45 T c0 /bd
T.A.
DM 96
EC2
0,400
V Rd1 /bd
0,200
0,000
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00
V Sd /bd [kg/cm 2 ]
44

ESEMPIO n.1
Per la trave continua di sezione rettangolare b = 40 cm, h = 70 cm, di cui
all’esercizio 9.5, si ipotizzi un diagramma del taglio come in figura,
inviluppo delle sollecitazioni dovute ai carichi verticali ed alle le azioni
orizzontali in cui i tagli di progetto risultano essere
Si effettui la verifica a taglio allo stato limite ultimo per la campata BC
supponendo che in tale tratto siano presenti ferri sagomati a 45° con
passo p = 35 cm e diametro φ16.
241
7
A
A
643
8
1995
4
B
B
1323
8
C
C
• V dA =15575 kg
• V dB =26750 kg
4.2 5.3
• V dB =30918 kg
• V dC =14140 kg
45

La sezione in esame è rettangolare con b = 40 cm, h = 70 cm,
d = 3.5 cm, As = 8 φ16 = 16.08 cm 2 .
Inoltre per la campata in esame risulta che il taglio di progetto
è V d = 30918 kg
• Essendo:
• b w = 40 cm
• d=h-d’=70
=70-3.5=66.5
• f ctd = 0.70*0.58*R 2/3 ck /1.6=10.07 kg/cmq
• r = 1.6-d=1.6
d=1.6-0.665 = (>=1) =1
• ρ = A s /(b w *d)=16.08/(40*66.5)=0.605%
• δ=1
46

Calcolo di V e Rd1 V Rd2
• Ed ancora:
• f cd = 0.83*R ck /1.6=129.69 kg/cmq
• 1+cotg(α) ) = 1 (α=90(
=90° trattandosi di staffe)
• Risulta:
• V Rd1 =0.25*40*66.5*10.07*1*(1+50*0.605
%)*1=8722 kg
• V Rd2 =0.30*40*66.5*129.69*1=103493 kg
47

Essendo V Rd1 < V < d V occorre
Rd2 progettare idonea armatura
48

In assenza di ferri piegati:
• Deve risultare: V d ≤ V cd + V sd
• essendo: V cd
contributo effetti collaterali
(spinotto, ingranamento, etc)
V sd
il contributo delle staffe
Inoltre deve risultare:
• V sd = max [0.5
V d ; (V(
d – V cd )] = max [15459 , (30918(
30918-
16072)] = 15459 kg
• n st = V sd /(n b *ω st
st *f ysd
ysd )*100/(0.9*d) =
= 15459/(2*0.5*3304)*100/(0.9*66.5) = 7.81 staffe ϕ 8 / m
• L’armatura corrispondente può essere costituita da staffe
φ8/12.5 cm a 2 bracci.
49

In presenza di ferri piegati
• Deve risultare: V d ≤ V cd
cd + V sd +V’ sd
• Essendo: V cd
contributo effetti collaterali
(spinotto, ingranamento, etc)
• V sd
il contributo delle staffe
• V’ sd il contributo dei sagomati
• E inoltre deve risultare: V sd + V’ sd ≥ 0.5 V d
50

Risulta:
cd = 0.60*f ctd *b w *d*δ = 0.6*10.07*40*66.5
= 16072 kg (l’EC2 pone V cd = V Rd1 )
sd + V’ V sd ≥ [V d -V cd = 30918-16072 16072 =14846
kg]
• V cd
• V sd
• V sd + V’ V sd ≥ 0.5*V d = 0.5*30918 =15459 kg
• (V sd + V’ V sd ) = max (14846,15459) = 15459
kg
51

Calcolo staffe
• Tratto da armare (V d > V Rd1 )
• ∆z= l z *(V d -V Rd1 )/V d =231 cm
• Armatura di staffe:
• Deve risultare V sd = max [V d -V cd
614, 7730)=7730 kg
cd -V’ sd
sd , 0.5*(V d -V cd )] = (-(
• Per un tratto pari ad 1 m si ottiene (n(
st = n. staffe per
metro)
• n st = V sd /(n b *ω st *f sd )*100/(0.9*d) =
7730/(2*0.5*3304)*100/(0.9*66.5) = 3.9 staffe ϕ 8 / m
• Minimo di armatura (D.M.)
• n st = 0.1*b*(1+0.15d/b)/(n b *ω st ) = 5 staffe ϕ 8 / m
52

Metodo dell’inclinazione variabile
TAGLIO
del puntone compresso.
Si assume β=27
o e staffe (α=90(
=90°)
V
uc
= ν ⋅b
w
⋅d
*
f
cd
⋅
1
tanβ + cotβ
=
0.6⋅
40⋅0.9⋅66.5⋅129
1
2.47
=
75018
kg
V
us
=
A
sw
⋅f
ywd
⋅d
*
/ s ⋅cotβ = 1⋅3304⋅
0.9⋅66.5
12.5
⋅1.96
=
31006
kg
V
u
= min(75018, 31006)
= 31006 kg
(poco
maggiore di[
V
d
=
30918
kg] )
⎡ A
⎢
⎣ b
sw
w
⋅f
⋅s
⋅f
ywd
cd
=
1⋅3304
40 ⋅12.5⋅129
=
⎤
0.051⎥
⎦
≤
[ 0.5 ν = 0.5⋅0.6
= 0.3]
53

ORDINE DEGLI INGEGNERI
Corso di aggiornamento sulla normativa sismica
gen. 2007 – mar. 2007
La verifica a taglio delle travi in c.a.
allo Stato Limite Ultimo (S.L.U(
S.L.U.) .)
FINE PRESENTAZIONE
Prof. Ciro FAELLA
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Salerno
54