JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

3.2. Dispersioon ja ruuthälve
Näeme, et dispersioon läheneb kiiresti lõpmatusele, kui parameeter r läheneb kolmele. Ja
vastupidi, parameetri kasvades dispersioon läheneb kiiresti nullile.
See näide demonstreerib seda tõsiasja, et – sarnaselt keskväärtusele – vajab lõpmatu määramispiirkonnaga
juhuslik suurus dispersiooni lõplikkuseks (st eksisteerimiseks) küllalt kiiret
tõenäosustiheduse nullile lähenemist protsessis → ±∞ . Jaotusfunktsiooni nullile lähenemise
x
kiiruse määrab käesolevas näites parameeter r – mida suurem see on, seda kiirem on f (x)
nullile lähenemine (vt joonis 1.1). Nagu näeme, on dispersiooni eksisteerimiseks tarvilik suurem
nullile lähenemise kiirus ( r > 3) kui oli tarvilik keskväärtuse olemasoluks (seal oli tarvilik
r > 2 ). See tulemus on üsna üldine: lõpmatu kandjaga jaotusfunktsiooni korral on tingimused
dispersiooni eksisteerimiseks hoopis karmimad kui keskväärtusele.
Dispersiooni omadusi
Vaatleme dispersiooni põhiomadusi, mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse
puhul.
1. Dispersiooni mittenegatiivsus.
a) Mittejuhusliku suuruse dispersioon on null. Konstandi dispersioon on võrdne nulliga
Tõestuseks teisendame
[ c] = 0
D .
2
[] c = m[ ( c − m[ c] ) ] = m[ 0] = 0
D .
b) Juhusliku suuruse dispersioon on alati positiivne.
Vaatame määranguid (2.3) ja (2.4). Diskreetsel juhul (2.3) on summa all ainult positiivsed
suurused, ja positiivsete suuruste summa on positiivne.
Erandjuhuks on mittejuhuslik diskreetne suurus, mil summa koosneb vaid ühest liikmest, mis on
parasjagu null.
Analoogiline on tõestus pideval juhul (2.4): integraal positiivsest funktsioonist on positiivne.
Ka siin on piiril erijuhuks ühteainsasse punkti
delta-funktsioon
2. Ruuthomogeensus. Kehtib võrdus
Keskväärtuse omaduste põhjal
f ( x)
δ(
x − c)
X = c lokaliseeritud jaotus, mida kirjeldab
= .
2
[ ] c D[ X ]
D cX
= .
2
[ ] = m[ ( cX − cm[ X ])
]
2 2
[ ) ] = c D[ X ]
2
[ ] = m ( cX − m[ ( cX )])
2
= m c ( X − m[ X ]
D cX
=
.
9