JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

3.2. Dispersioon ja ruuthälve
Dispersioon
Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust
D
D
⎡
⎢
⎣
0
2
⎤
⎥
⎦
[ ]
2
[ X ] = m X = m ( X − m[ X ])
≡ , (2.2)
mis võetakse üheks hajuvuse karakteristikuks. Seega on dispersioon juhusliku suuruse üheks nn
juhuslikkuse määra iseloomustajaks.
2
Teised levinumad tähised dispersioonile on veel σ (dispersioon on siin tähistatud kui
ruuthälbe ruut). Käesolevas kursuses kasutame dispersioonile tähist
ja kui tahame rõhutada või esile tuua, millise juhuliku suurusega on tegu, siis tähist
D
D [ X ].
Vastavalt definitsioonile (2.2) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem
D
=
∑
i
( x − m)
7
2
i
p i
. (2.3)
Niisiis, tegu on tõenäosustega kaalutud üksikrealisatsioonide hälvete ruutude summaga.
Analoogiliselt, pideva juhuliku suuruse korral annab (2.2)
∞
∫
−∞
2
D = ( x − m)
f ( x)
dx
Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada järgmist Steineri valemit
ehk lühemalt
D
2
[ X ] = m[ X ] − m[ X ]
D
2
2
[ ] − m
( ) 2
. (2.4)
= m X
. (2.5)
2
Siin esimene suurus paremal on keskväärtus juhusliku suuruse ruudust X . Kõige lihtsam on
seda valemit tõestada, esitades valemeis (2.3) ja/või (2.4) ruutavaldise ümarsulgudes kujul
2
2
2
( x − m)
= x − 2xm
+ m
suuruse juhul (2.4)
D
=
=
∞
∫
−∞
x
2
∞
∫
−∞
( x − m)
f ( x)
dx
2
f ( x)
dx
− 2m
∞
∫
−∞
. Vaatame detailsemalt (2.5) tõestust pideva juhusliku
x
=
∞
∫
−∞
f ( x)
dx
( x
2
+
− 2xm
+ m
m
2
∞
∫
−∞
2
)
f ( x)
dx
f ( x)
dx.
=