JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
5.8. Mõõtmistulemuste graafiline töötlemine. Vähimruutude meetod oleks minimaalne. S kujutab endast kahe muutuja a ja b funktsiooni (arvupaarid { x i , y i } selles summas on etteantud arvud ja nendega me ei mängi/neid me ei muuda). Kui mõõdetud punktid paikneksid täpselt sirgel (8.1), siis oleks igas punktis yi − axi − b = 0 ja summa (8.2) muutuks samaselt nulliks. Mõõtmisvigade tõttu aga mõõtepunktid täpselt ühelgi sirgel ei paikne ja ümarsulgudes olevad avaldised (8.2) paremal poolel nulliks ei saa, ükskõik kui osavalt me ka sirge parameetreid ei valiks. Joonisel 8.2 on näidatud illustratsioonina sirge parameetritega a = 2 , b = 0 ja ristikestega on toodud sama sirge mõõtmised kümnes punktis. Vead on modelleeritud nii x -ile kui y -le − 0,5, 0,5 (kogu modelleerimine on läbi viidud Mathcad ühtlaselt jaotatuna intervallis [ ] keskkonnas). 20 20 y yr 10 2 0 0 2 4 6 8 10 0 x 10 Üldiselt on valemiga (8.2) määratud ( a, b) Joonis 8.2 S positiivne kõikjal (kõigi a ja b väärtuste korral) x , . ja tal on parajasti üks miinimum (joonis 8.3), mille asend sõltub mõõdetud suurustest { } i y i 1000 800 600 400 200 0 -10 -5 0 5 10 15 20 -20 -15 -10 -5 0 5 a 10 15 20 b Joonis 8.3 68
5.8. Mõõtmistulemuste graafiline töötlemine. Vähimruutude meetod Miinimumi tingimuse kohaselt peavad summa S osatuletised a ja b järgi olema võrdsed nulliga. Arvutame S esimesed osatuletised: ∂S = −2 ∂a N ∑ i= 1 ∂S = −2 ∂b 2 ( y − ax − b) x = 2N[ − xy + ax bx], N ∑ i= 1 kus on kasutatud aritmeetilise keskmise tähist i i i + ( y − ax − b) = 2N[ − y + ax b], i i + N 1 f = ∑ f i . N i= 1 Esimeste tuletiste üheaegne nulliks muutumine annab võrrandisüsteemi miinimumpunkti koordinaatide a ja b leidmiseks: 2 a x + bx = a x + b = Selle võrrandisüsteemi lahendame asendusmeetodil: leiame esmalt teisest võrrandist b suuruse b = y − ax Selle tulemuse paneme esimesse võrrandisse, mis annab a funktsioonina: . Seega saab lahendi nüüd kirjutada kujul a xy, y. 2 [ x − ( x) ] 2 = xy − x ⋅ y. ⎧ xy − x ⋅ y ⎪a = , 2 2 ⎨ x − () x ⎪ ⎩ b = y − ax. Sama tulemuse võib alternatiivelt esitada ka nii: N ∑ ( xi − x) ⎧ ⎪ i= 1 ⎪a = ⎨ ⎪ i= 1 ⎪ ⎩b = y − ax N ∑( xi − x) Suuruste a ja b standardhälbed avalduvad valemitega (toome ilma tõestuseta): . y 2 i , 69
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63 and 64: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 65 and 66: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
- Page 67: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
5.8. Mõõtmistulemuste graafiline töötlemine. Vähimruutude meetod<br />
Miinimumi tingimuse kohaselt peavad summa S osatuletised a ja b järgi olema võrdsed<br />
nulliga.<br />
Arvutame S esimesed osatuletised:<br />
∂S<br />
= −2<br />
∂a<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
∂S<br />
= −2<br />
∂b<br />
2<br />
( y − ax − b) x = 2N[ − xy + ax bx],<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
kus on kasutatud aritmeetilise keskmise tähist<br />
i i i<br />
+<br />
( y − ax − b) = 2N[ − y + ax b],<br />
i i<br />
+<br />
N<br />
1<br />
f = ∑ f i<br />
.<br />
N i=<br />
1<br />
Esimeste tuletiste üheaegne nulliks muutumine annab võrrandisüsteemi miinimumpunkti<br />
koordinaatide a ja b leidmiseks:<br />
2<br />
a x + bx =<br />
a x + b =<br />
Selle võrrandisüsteemi lahendame asendusmeetodil: leiame esmalt teisest võrrandist b suuruse<br />
b = y − ax Selle tulemuse paneme esimesse võrrandisse, mis annab<br />
a funktsioonina: .<br />
Seega saab lahendi nüüd kirjutada kujul<br />
a<br />
xy,<br />
y.<br />
2<br />
[ x − ( x)<br />
] 2<br />
= xy − x ⋅ y.<br />
⎧ xy − x ⋅ y<br />
⎪a<br />
= ,<br />
2 2<br />
⎨ x − () x<br />
⎪<br />
⎩ b = y − ax.<br />
Sama tulemuse võib alternatiivelt esitada ka nii:<br />
N<br />
∑ ( xi<br />
− x)<br />
⎧<br />
⎪<br />
i=<br />
1<br />
⎪a<br />
=<br />
⎨<br />
⎪<br />
i=<br />
1<br />
⎪<br />
⎩b<br />
= y − ax<br />
N<br />
∑( xi<br />
− x)<br />
Suuruste a ja b standardhälbed avalduvad valemitega (toome ilma tõestuseta):<br />
.<br />
y<br />
2<br />
i<br />
,<br />
69
Change language