JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
5.7. Kaalutud keskmiste meetod 5.7. Kaalutud keskmiste meetod Praktikas määratakse sageli üht ja sama füüsikalist suurust erinevatel tingimustel või erinevate meetoditega, kusjuures üksiktulemuste määramatused osutuvad erinevateks. On selge, et keskmise tulemuse arvutamisel tuleks täpsemaid tulemusi arvestada suurema kaaluga kui vähemtäpseid. Võimaluse selleks pakub kaalutud keskmiste meetod. Sellisel juhul ei arvutata mitte tulemuste aritmeetilist keskmist, vaid leitakse nn kaalutud keskmine: x n ∑ i=1 = n ∑ i=1 g 66 i g x i i , (7.1) kus g i on i-nda tulemuse kaal ja n on mõõtmiste arv. Kaaludeks g i võetakse arvud, mis on võrdelised üksikmõõtmiste määramatuste ruutude pöördväärtustega. Võrdetegur võib olla suvaline, tavaliselt võetakse ta võrdseks ühega. Sel juhul Kaalutud keskmise määramatuse leiame valemist u C g i u 2 C 1 ( x ) = . (7.2) x) = n i 1 ( . (7.3) Kaalutud keskmine osutub alati täpsemaks kui ka kõige täpsem üksiktulemus Näide: Olgu kahe erineva meetodi abil leitud ühe ja sama suuruse väärtused Arvutame x = 4,60 1 x = 4,80 2 (0,10) (0,20) ∑ i=1 g i 1 1 g 1 = = 100 ja g 25 2 2 = = 2 0,1 0,2 100⋅ 4,6 + 25⋅ 4,8 x = 100 + 25 1 u ( x) = 100 + 25 x = 4,640(0,089 . C = Lõpptulemuseks saime ) = 4,640 0,089 Nagu näha, ei mõjusta vähemtäpsete andmete lisamine mõõtmistulemust oluliselt. Aritmeetiline keskmine oleks märksa halvem hinnang kui täpsem tulemus üksinda. x i .
5.8. Mõõtmistulemuste graafiline töötlemine. Vähimruutude meetod 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline töötlemine. Vähimruutude meetod Katsetes kasutatakse sageli suuruste x ja y paare, kusjuures üks neist, näiteks y , osutub teise, näiteks x -i, funktsiooniks. Seejärel kantakse leitud suurused graafikule ja püütakse leida sile joon, mis läheks katsepunktidest võimalikult lähedalt läbi ja kirjeldaks funktsiooni y = f (x) kõige paremini (täpsemalt, optimaalsemalt). Oleks vale nõuda, et joon läheks läbi kõikide mõõdetud punktide. Niisuguse siksakilise graafiku ehitamine oleks tegelikult jäme viga, sest on ette teada, et mõõtmisvigade tõttu punktid ei paikne reeglina mitte graafikul, vaid selle läheduses (joonis 8.1). Joonis 8.1 Kõige korrektsem meetod selle funktsiooni f leidmiseks on vähimruutude meetod. Vaatleme vähimruutude meetodit kõige lihtsama näite – lineaarse sõltuvuse korral. Olgu meil mõõdetud N arvupaari { x , } y = ax + b (8.1) i y i , millest teame, et mõõtmisvigade puudumisel nad paikneksid sirgel y = ax + b . Ülesanne seisneb parameetrite a ja b ning nende määramatuste leidmises. Vähimruutude meetodil saadakse sirge tõusu a ja algordinaadi b sellised väärtused, mille puhul summa N ∑( yi − axi − b) S( a, b) = (8.2) i= 1 2 67
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63 and 64: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 65: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
- Page 69 and 70: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
5.7. Kaalutud keskmiste meetod<br />
5.7. Kaalutud keskmiste meetod<br />
Praktikas määratakse sageli üht ja sama füüsikalist suurust erinevatel tingimustel või erinevate<br />
meetoditega, kusjuures üksiktulemuste määramatused osutuvad erinevateks. On selge, et<br />
keskmise tulemuse arvutamisel tuleks täpsemaid tulemusi arvestada suurema kaaluga kui<br />
vähemtäpseid. Võimaluse selleks pakub kaalutud keskmiste meetod.<br />
Sellisel juhul ei arvutata mitte tulemuste aritmeetilist keskmist, vaid leitakse nn kaalutud<br />
keskmine:<br />
x<br />
n<br />
∑<br />
i=1<br />
= n<br />
∑<br />
i=1<br />
g<br />
66<br />
i<br />
g<br />
x<br />
i<br />
i<br />
, (7.1)<br />
kus g<br />
i<br />
on i-nda tulemuse kaal ja n on mõõtmiste arv. Kaaludeks g<br />
i<br />
võetakse arvud, mis on<br />
võrdelised üksikmõõtmiste määramatuste ruutude pöördväärtustega. Võrdetegur võib olla<br />
suvaline, tavaliselt võetakse ta võrdseks ühega. Sel juhul<br />
Kaalutud keskmise määramatuse leiame valemist<br />
u<br />
C<br />
g<br />
i<br />
u<br />
2<br />
C<br />
1<br />
( x )<br />
= . (7.2)<br />
x)<br />
=<br />
n<br />
i<br />
1<br />
( . (7.3)<br />
Kaalutud keskmine osutub alati täpsemaks kui ka kõige täpsem üksiktulemus<br />
Näide: Olgu kahe erineva meetodi abil leitud ühe ja sama suuruse väärtused<br />
Arvutame<br />
x = 4,60<br />
1<br />
x = 4,80<br />
2<br />
(0,10)<br />
(0,20)<br />
∑<br />
i=1<br />
g i<br />
1<br />
1<br />
g<br />
1<br />
= = 100 ja g 25<br />
2<br />
2<br />
= =<br />
2<br />
0,1<br />
0,2<br />
100⋅<br />
4,6 + 25⋅<br />
4,8<br />
x =<br />
100 + 25<br />
1<br />
u ( x)<br />
=<br />
100 + 25<br />
x = 4,640(0,089 .<br />
C<br />
=<br />
Lõpptulemuseks saime )<br />
= 4,640<br />
0,089<br />
Nagu näha, ei mõjusta vähemtäpsete andmete lisamine mõõtmistulemust oluliselt. Aritmeetiline<br />
keskmine oleks märksa halvem hinnang kui täpsem tulemus üksinda.<br />
x<br />
i<br />
.
Change language