JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemääramatus mitme sisendsuuruse korral Liitmääramatus u C (P) on funktsioon suurustest U, I, ϕ , u( U ), u( I) ja (ϕ) 2 2 u : ⎛ ∂P ⎞ 2 ⎛ ∂P ⎞ 2 ⎛ ∂P ⎞ 2 ⎛ ∂P ⎞⎛ ∂P ⎞ u( P) = ⎜ ⎟ u ( U ) + ⎜ ⎟ u ( I) + ⎜ ⎟ u ( ϕ) + 2⎜ ⎟⎜ ⎟rU, Iu( U ) u( I). ⎝ ∂U ⎠ ⎝ ∂I ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂U ⎠⎝ ∂I ⎠ Et pinge ja voolu efektiivväärtused on teineteisest lineaarses sõltuvuses ( U = IR) , kus R on vooluahela takistus, mis fikseeritud sagedusel on konstant, siis korrelatsioonitegur r [ U, I ] = 1. Seetõttu juurealuse avaldise arvutus annab 2 I 2 2 ⎛ ∂P ⎞ ⎜ ⎟ u ⎝ ∂U ⎠ = + = cos 2 2 ⎛ ∂P ⎞ ( U ) + ⎜ ⎟ u ⎝ ∂I ⎠ ( ϕ) u 2 2 ( U ) + U 2 2 cos 2 ( ϕ) u ( I) + ⎛ ∂P ⎞⎛ ∂P ⎞ ( ϕ) + 2⎜ ⎟⎜ ⎟r ⎝ ∂U ⎠⎝ ∂I ⎠ 2 2 2 2 2 U I ( − sin( ϕ) ) u ( ϕ) + 2IU cos ( ϕ) u( U ) u( I) = 2 2 2 2 2 ( I cos( ϕ) u( U ) + U cos( ϕ) u( I) ) + U I sin ( ϕ) u ( ϕ). 2 2 ⎛ ∂P ⎞ ( I) + ⎜ ⎟ u ⎝ ∂ϕ ⎠ 2 U,I u( U ) u( I) = Seega 2 2 2 2 2 ( I cos( ϕ) u( U ) + U cos( ϕ) u( I) ) U I sin ( ϕ) u ( ϕ) . u ( P) = + Oletame nüüd, et mõõtsime voolutugevuse väärtuseks I = 0,1 A (ampermeetri täpsusklass γ = 0,2 , mõõtediapasoon 0,15 A), pinge väärtuseks U = 100 V (voltmeetri täpsusklass γ = 0,2 ; mõõtediapasoon 150 V) ja faasiks ϕ = π / 3 (fasomeetri täpsusklass δ = 0,6). Vastavad määramatused avalduvad nüüd: 0,0003 3 0,0063 u B ( I) = A ; u B ( U ) = V ja B ( ϕ) = rad 3 0,3 3 u . Arvandmete asendamisel keskmise võimsuse ja tema määramatuse valemitesse saame π = 0 ,1 ⋅100⋅cos = 5 W 3 u( P) = P , = = ⎛ π ⎜0,1cos( ) ⎝ 3 0,036 W. 0,3 3 π 0,0003⎞ + 100 cos( ) ⎟ 3 3 ⎠ 2 + 100 2 0,1 2 sin 2 π ⎛ 0,0063⎞ ( ) ⎜ ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ 2 = Tulemuse esitame kujul P = 5,000(36) W. 64
5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. Halvima olukorra meetod Mõnikord kasutatakse ka lihtsamat meetodit kaudmõõtmise määramatuse hindamiseks, nn halvima olukorra meetodit. “Halvimaks” nimetatakse olukorda, kus kõik mõõtehälbed mõjustavad määratavat suurust ühes suunas, näiteks vähendavad minimaalset suurust y. Nii võib ja ülempiiri y + . Selleks tuleb iga hinnata kaudmõõdetud suuruse y väärtuse alampiiri y – argumendi jaoks eraldi välja selgitada, kas y vähendamiseks tuleb argumenti x suurendada või vähendada. Kui on nõutav argumendi suurendamine, siis pannakse suuruse y arvutusvalemisse argumendi x asemele x + u C (x), kui argumenti on vaja vähendada, siis x – u C (x). Selliselt toimime kõikide argumentidega ja arvutame välja y – ja y + . Otsitava määramatuse jaoks saame kaks väärtust u – C (y) = y – y – ja u + C (y) = y + – y. Toome siin halvima olukorra määramatuse hinnangud kahel tähtsamal erijuhul: (A) väljundsuurus on sisendsuuruste algebraline summa ja (B) väljundsuurus on sisendsuuruste korrutis ja jagatis. A. Olgu väljundsuurus kus Z = X1 + X 2 + ... + X j − ( Y1 + Y2 + ... Yk ), X i, Yl on sisendsuurused. Siis halvima olukorra hinnang on mõõtemääramatustele u Z) u( X ) + u( X ) + .... + u( X ) + u( Y ) + u( Y ) + .... + u( Y ). ( 1 2 j 1 2 k B. Olgu väljundsuurus ≤ (6.1) Z = X 1 Y ⋅Y 1 ⋅ X 2 2 ⋅... ⋅ X ⋅... ⋅Y siis halvima olukorra hinnang on suhtelistele mõõtemääramatustele u( Z) Z u( X x1 kus { i}, { yl} väärtus. ) u( X + x2 ) u( X + .... + x j k j , ) u( Y1 ) u( Y + + y y ) u( Y + .... + y 1 2 j 2 k ≤ (6.2) 1 2 k x ja Z on sisendsuuruste mõõdetud väärtused ja väljundsuuruse arvutatud ) . “Halvima olukorra meetod” on suhteliselt lihtne, aga tal on ka tõsine puudus. Nimelt ta tõstab põhjendamatult usaldusnivood, s.t me hindame määramatust üle. Kui ei ole spetsiaalselt vaja määramatust üle hinnata, siis “halvima olukorra meetodit” me ei kasuta. Kui aga eksisteerib oht, et argumentide määramatused pole täiesti sõltumatud või kui ei tohi määramatust kindlasti alla hinnata, siis tuleb kasutada “halvima olukorra meetodit”. 65
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 67 and 68: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 69 and 70: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemääramatus mitme sisendsuuruse korral<br />
Liitmääramatus u C<br />
(P)<br />
on funktsioon suurustest U, I,<br />
ϕ , u(<br />
U ), u(<br />
I)<br />
ja (ϕ)<br />
2<br />
2<br />
u :<br />
⎛ ∂P<br />
⎞ 2 ⎛ ∂P<br />
⎞ 2 ⎛ ∂P<br />
⎞ 2 ⎛ ∂P<br />
⎞⎛<br />
∂P<br />
⎞<br />
u( P)<br />
= ⎜ ⎟ u ( U ) + ⎜ ⎟ u ( I)<br />
+ ⎜ ⎟ u ( ϕ)<br />
+ 2⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟rU,<br />
Iu(<br />
U ) u(<br />
I).<br />
⎝ ∂U<br />
⎠ ⎝ ∂I<br />
⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂U<br />
⎠⎝<br />
∂I<br />
⎠<br />
Et pinge ja voolu efektiivväärtused on teineteisest lineaarses sõltuvuses ( U = IR)<br />
, kus R on<br />
vooluahela takistus, mis fikseeritud sagedusel on konstant, siis korrelatsioonitegur r [ U, I ] = 1.<br />
Seetõttu juurealuse avaldise arvutus annab<br />
2<br />
I<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂P<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ u<br />
⎝ ∂U<br />
⎠<br />
=<br />
+<br />
=<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂P<br />
⎞<br />
( U ) + ⎜ ⎟ u<br />
⎝ ∂I<br />
⎠<br />
( ϕ)<br />
u<br />
2<br />
2<br />
( U ) + U<br />
2<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
( ϕ)<br />
u<br />
( I)<br />
+<br />
⎛ ∂P<br />
⎞⎛<br />
∂P<br />
⎞<br />
( ϕ)<br />
+ 2⎜<br />
⎟⎜<br />
⎟r<br />
⎝ ∂U<br />
⎠⎝<br />
∂I<br />
⎠<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
U I ( − sin( ϕ)<br />
) u ( ϕ)<br />
+ 2IU<br />
cos ( ϕ)<br />
u(<br />
U ) u(<br />
I)<br />
=<br />
2 2 2 2 2<br />
( I cos( ϕ)<br />
u(<br />
U ) + U cos( ϕ)<br />
u(<br />
I)<br />
) + U I sin ( ϕ)<br />
u ( ϕ).<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂P<br />
⎞<br />
( I)<br />
+ ⎜ ⎟ u<br />
⎝ ∂ϕ ⎠<br />
2<br />
U,I<br />
u(<br />
U ) u(<br />
I)<br />
=<br />
Seega<br />
2 2 2 2 2<br />
( I cos( ϕ)<br />
u(<br />
U ) + U cos( ϕ)<br />
u(<br />
I)<br />
) U I sin ( ϕ)<br />
u ( ϕ)<br />
.<br />
u ( P)<br />
=<br />
+<br />
Oletame nüüd, et mõõtsime voolutugevuse väärtuseks I = 0,1 A (ampermeetri täpsusklass<br />
γ = 0,2 , mõõtediapasoon 0,15 A), pinge väärtuseks U = 100 V (voltmeetri täpsusklass<br />
γ = 0,2 ; mõõtediapasoon 150 V) ja faasiks ϕ = π / 3 (fasomeetri täpsusklass δ = 0,6).<br />
Vastavad määramatused avalduvad nüüd:<br />
0,0003<br />
3<br />
0,0063<br />
u<br />
B<br />
( I)<br />
= A ; u<br />
B<br />
( U ) = V ja<br />
B<br />
( ϕ)<br />
= rad<br />
3<br />
0,3 3<br />
u .<br />
Arvandmete asendamisel keskmise võimsuse ja tema määramatuse valemitesse saame<br />
π<br />
= 0 ,1 ⋅100⋅cos<br />
= 5 W<br />
3<br />
u(<br />
P)<br />
=<br />
P ,<br />
=<br />
=<br />
⎛ π<br />
⎜0,1cos(<br />
)<br />
⎝ 3<br />
0,036 W.<br />
0,3<br />
3<br />
π 0,0003⎞<br />
+ 100 cos( ) ⎟<br />
3 3 ⎠<br />
2<br />
+ 100<br />
2<br />
0,1<br />
2<br />
sin<br />
2<br />
π ⎛ 0,0063⎞<br />
( ) ⎜ ⎟<br />
3 ⎝ 3 ⎠<br />
2<br />
=<br />
Tulemuse esitame kujul P = 5,000(36) W.<br />
64
Change language