JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
3.2. Dispersioon ja ruuthälve Oluline asi, millele selle näitega tähelepanu juhime, on asjaolu, et lõpmatusse ulatuva kandjaga (sama kehtib miinuslõpmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskväärtus eksisteerida. Selle (keskväärtuse) olemasoluks on vajalik, et jaotustihedus läheneks nullile piisavalt kiiresti, kui . Lõpliku kandja puhul sellist probleemi ei teki. x → ± ∞ Keskväärtuse omadusi. Näitame mõned olulisemad keskväärtuse omadused, mis kehtivad nii diskreetse kui pideva juhusliku suuruse korral. 1. Konstandi keskväärtus. Konstandi keskväärtus on see konstant ise [ c] c. m = 2. Homogeensus. Konstandi võib tuua keskväärtuse sümboli ette Tõestatakse see pideval juhul nii +∞ [ cX ] cm[ X ] m = . [ cX ] = cx f x) dx = c x f ( x dx = c m[ X ] ∫ m ) Analoogiline on tõestus diskreetse juhusliku suuruse korral. −∞ +∞ ∫ ( . −∞ 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Teades juhusliku suuruse keskväärtust, ei saa veel otsustada, milliseid väärtusi juhuslik suurus võib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskväärtuse ümber. Kui jaotusfunktsioon on hästi kitsas, kui juhusliku suuruse hajuvus on väike, siis on keskväärtusest küll, et iseloomustada juhuslikku suurust. Kui aga jaotusfunktsioon on lai ja lame? Meil on tarvis suurust, mis võimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse „kitsust“ või „hajuvust“. Selliseks suuruseks on dispersioon. Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse hälbe ehk tsentreeritud juhusliku suuruse o X [ ] = X − m X Pole raske veenduda, et hälbe keskväärtus on võrdne nulliga. Tõepoolest . (2.1) 0 m ⎡ X ⎢⎣ ⎤ ⎥⎦ = [ − m[ X ]] = m[ X ] − m[ m[ X ]] = m[ X ] − m[ X ] = 0 m X See on seletatav sellega, et võimalikud hälbed on erinevate märkidega ja summaarselt kompenseeruvad. Järelikult ei iseloomusta hälve hajuvust. Tsentreerimine tähendab m X . geomeetriliselt seda, et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ] 6
3.2. Dispersioon ja ruuthälve Dispersioon Juhusliku suuruse dispersiooniks (ingliskeelne nimetus variance) nimetatakse suurust D D ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 ⎤ ⎥ ⎦ [ ] 2 [ X ] = m X = m ( X − m[ X ]) ≡ , (2.2) mis võetakse üheks hajuvuse karakteristikuks. Seega on dispersioon juhusliku suuruse üheks nn juhuslikkuse määra iseloomustajaks. 2 Teised levinumad tähised dispersioonile on veel σ (dispersioon on siin tähistatud kui ruuthälbe ruut). Käesolevas kursuses kasutame dispersioonile tähist ja kui tahame rõhutada või esile tuua, millise juhuliku suurusega on tegu, siis tähist D D [ X ]. Vastavalt definitsioonile (2.2) on diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni arvutusvalem D = ∑ i ( x − m) 7 2 i p i . (2.3) Niisiis, tegu on tõenäosustega kaalutud üksikrealisatsioonide hälvete ruutude summaga. Analoogiliselt, pideva juhuliku suuruse korral annab (2.2) ∞ ∫ −∞ 2 D = ( x − m) f ( x) dx Dispersiooni praktiliseks arvutamiseks sobib kasutada järgmist Steineri valemit ehk lühemalt D 2 [ X ] = m[ X ] − m[ X ] D 2 2 [ ] − m ( ) 2 . (2.4) = m X . (2.5) 2 Siin esimene suurus paremal on keskväärtus juhusliku suuruse ruudust X . Kõige lihtsam on seda valemit tõestada, esitades valemeis (2.3) ja/või (2.4) ruutavaldise ümarsulgudes kujul 2 2 2 ( x − m) = x − 2xm + m suuruse juhul (2.4) D = = ∞ ∫ −∞ x 2 ∞ ∫ −∞ ( x − m) f ( x) dx 2 f ( x) dx − 2m ∞ ∫ −∞ . Vaatame detailsemalt (2.5) tõestust pideva juhusliku x = ∞ ∫ −∞ f ( x) dx ( x 2 + − 2xm + m m 2 ∞ ∫ −∞ 2 ) f ( x) dx f ( x) dx. =
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
- Page 3 and 4: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
- Page 5: 3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f
- Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
3.2. Dispersioon ja ruuthälve<br />
Oluline asi, millele selle näitega tähelepanu juhime, on asjaolu, et lõpmatusse ulatuva kandjaga<br />
(sama kehtib miinuslõpmatuse puhul) juhuslikul suurusel ei pruugi keskväärtus eksisteerida.<br />
Selle (keskväärtuse) olemasoluks on vajalik, et jaotustihedus läheneks nullile piisavalt kiiresti,<br />
kui<br />
. Lõpliku kandja puhul sellist probleemi ei teki.<br />
x<br />
→<br />
± ∞<br />
Keskväärtuse omadusi.<br />
Näitame mõned olulisemad keskväärtuse omadused, mis kehtivad nii diskreetse kui pideva<br />
juhusliku suuruse korral.<br />
1. Konstandi keskväärtus. Konstandi keskväärtus on see konstant ise<br />
[ c] c.<br />
m =<br />
2. Homogeensus. Konstandi võib tuua keskväärtuse sümboli ette<br />
Tõestatakse see pideval juhul nii<br />
+∞<br />
[ cX ] cm[ X ]<br />
m = .<br />
[ cX ] = cx f x)<br />
dx = c x f ( x dx = c m[ X ]<br />
∫<br />
m )<br />
Analoogiline on tõestus diskreetse juhusliku suuruse korral.<br />
−∞<br />
+∞<br />
∫<br />
( .<br />
−∞<br />
3.2. Dispersioon ja ruuthälve<br />
Teades juhusliku suuruse keskväärtust, ei saa veel otsustada, milliseid väärtusi juhuslik suurus<br />
võib omandada ja kuidas nad on hajutatud keskväärtuse ümber. Kui jaotusfunktsioon on hästi<br />
kitsas, kui juhusliku suuruse hajuvus on väike, siis on keskväärtusest küll, et iseloomustada<br />
juhuslikku suurust. Kui aga jaotusfunktsioon on lai ja lame? Meil on tarvis suurust, mis<br />
võimaldaks kvantitatiivselt hinnata jaotuse „kitsust“ või „hajuvust“. Selliseks suuruseks on<br />
dispersioon.<br />
Dispersiooni defineerimiseks toome esmalt sisse juhusliku suuruse hälbe ehk tsentreeritud<br />
juhusliku suuruse<br />
o<br />
X<br />
[ ]<br />
= X − m X<br />
Pole raske veenduda, et hälbe keskväärtus on võrdne nulliga. Tõepoolest<br />
. (2.1)<br />
0<br />
m<br />
⎡<br />
X<br />
⎢⎣<br />
⎤<br />
⎥⎦<br />
=<br />
[ − m[ X ]] = m[ X ] − m[ m[ X ]] = m[ X ] − m[ X ] = 0<br />
m X<br />
See on seletatav sellega, et võimalikud hälbed on erinevate märkidega ja summaarselt<br />
kompenseeruvad. Järelikult ei iseloomusta hälve hajuvust. Tsentreerimine tähendab<br />
m X .<br />
geomeetriliselt seda, et koordinaatide alguspunkt viiakse punkti [ ]<br />
6
Change language