JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemääramatus mitme sisendsuuruse korral Näide 1 (algus). Olgu meil mõõdetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D (üksikmõõtmise tulemus d) ja mass M (üksikmõõtmise tulemus µ (kasutame siin kreeka tähte, et mitte segadust tekitada keskväärtuse tähisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus ρ valemist Selles näites on K = 2 , X 1 = D, X 2 = M ja Y = ρ. M 6 M ρ = = . (5.1) 3 ruumala π D Kera diameeter olgu mõõdetud N = 10 korda nihikuga, mille põhiviga ∆ = 0,05 o mm. Diameetri keskväärtuseks saime 1 = 2 d 10 ( d + d + ... ) 20,170mm d N . 1 10 = Diameetri A-tüüpi mõõtemääramatuseks saime u A ( D) = ( d − d 2 ) + ... + ( d 10 ⋅ (10 −1) ning diameetri B -tüüpi mõõtemääramatus on − d 2 1 N 10 N = u ( D) ∆ / 3 = 0,017 mm. B = o ) 0,022 mm, Siit summaarne diameetri mõõtemääramatus katteteguriga k = 2 (s.o usaldusnivooga p = 95%) on u 2 ( D) = 2 ⋅ ( u ( D)) + ( u ( D)) A B 2 = 2 ⋅ (0,022) 2 + (0,017) 2 = 0,056 mm. Massi kaalusime ühekordselt neljanda klassi kaaludega. Mass osutus võrdseks järgmiste vihtide masside summaga µ = ( 20 + 2 + 2 + 0,1 + 0,05) g = 24,15 g. Massi määramise põhiviga liitub kaalude põhiveast 50 mg ja vihtide põhivigadest, mis neljanda klassi vihtide puhul on (vt lisa 2) 20, 6, 6, 1 ja 1 mg. Seega saame massi põhiveaks 2 2 2 2 2 2 ∆ 0 ( M ) = 50 + 20 + 6 + 6 + 1 + 1 = 54,5 mg ning B-tüüpi määramatuseks usaldusnivool 95 % uB ( M ) = 2⋅ ∆ o( M ) / 3. Kuna kordsed massi mõõtmised annaksid siin kogu aeg ühe ja sama tulemuse, siis loeme massi A-tüüpi mõõtemääramatuse nulliks ning saame 2 ⋅ ∆ o( M ) u( M ) = uB ( M ) = = 63 mg = 0,063 g. 3 58
5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemääramatus mitme sisendsuuruse korral Kuidas ei tohi väljundsuurust arvutada. Kui prooviksime siin arvutada erinevatele mõõtmistele vastavad tiheduse väärtused lähtudes üldvalemist (5.1), s.o i -nda mõõtmise korral leiaksime suuruse 6 µ i ρ i = π ( d ) ja seejärel leiaksime üksiktiheduste ρ i aritmeetilise keskmise ning empiirilise standardhälbe (tiheduse A-tüüpi mõõtemääramatuse iseloomustajana), siis läheks suur osa massi määramisega seotud mõõtemääramatusest lihtsalt kaotsi. Sellist viga aga ei tohi teha. Seepärast talitatakse siin teisiti. Järgnevas vaatame esmalt üldjuhtu ja siis tuleme uuesti kera tiheduse määramise ülesande juurde tagasi. i 3 Mõõtemääramatuste liitumine üldise funktsionaalse seose korral. Eeldame et: Mõõtmisi on tehtud N korda ning meil on teada/arvutatud sisendsuuruste keskväärtused ning määramatused (Eespool toodud näites on määratud x 1 , x2,..., x K , u X ), u( X ),..., u( X ) . ( 1 2 K x1 = d N , m N = m ning u (D) ja (M ) u .) Teeme nüüd eelduse, et suuruste X i üksikmõõtmiste hälbed δ xi = xi − xi on väikesed ja muudavad väljundsuuruse Y väärtust vähe. Sel juhul saame esitada üksikmõõtmisele vastava i δ järgi: Y väärtuse punktis { } i Y = Y = Y ehk kus x rittaarendusena punktis { } ( x1 + δx ,... x K + δx ) ≈ Y ( x1,... x K ) + 1 K ∂Y ( x1,... x K ) + ∑ δxi , i= 1 ∂ x i K ( x1 x K ) x hälvetele { } ∂Y ∂x 1 δx 1 x i ∂Y + ∂x 2 δx 2 ∂Y + ..... + ∂x K δx Y = Y + δY, (5.2) K ∂Y Y = Y ,.... ja Y = ∑ δxi. xi δ (5.3) i= 1 ∂ Siin Y samastame suuruse Y mõõdetud/tõelise väärtusega ja hälbe δ Y samastame suuruse Y ühekordse mõõtmise mõõteveaga. Seetõttu saame Y mõõtemääramatuse arvutamiseks valemi u 2 [( δ ) ] 2 ( Y ) m Y = , (5.4) K = 59
- Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
- Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63 and 64: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 65 and 66: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
- Page 67 and 68: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 69 and 70: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemääramatus mitme sisendsuuruse korral<br />
Näide 1 (algus). Olgu meil mõõdetavateks suurusteks homogeense metallkera diameeter D<br />
(üksikmõõtmise tulemus d)<br />
ja mass M (üksikmõõtmise tulemus µ (kasutame siin kreeka<br />
tähte, et mitte segadust tekitada keskväärtuse tähisega m)) ning olgu tarvis leida metalli tihedus<br />
ρ valemist<br />
Selles näites on K = 2 , X<br />
1<br />
= D, X<br />
2<br />
= M ja Y = ρ.<br />
M 6 M<br />
ρ = = .<br />
(5.1)<br />
3<br />
ruumala π D<br />
Kera diameeter olgu mõõdetud N = 10 korda nihikuga, mille põhiviga ∆ = 0,05<br />
o<br />
mm.<br />
Diameetri keskväärtuseks saime<br />
1<br />
=<br />
2<br />
d<br />
10<br />
( d + d + ... ) 20,170mm<br />
d N .<br />
1 10<br />
=<br />
Diameetri A-tüüpi mõõtemääramatuseks saime<br />
u<br />
A<br />
( D)<br />
=<br />
( d<br />
− d<br />
2<br />
) + ... + ( d<br />
10 ⋅ (10 −1)<br />
ning diameetri B -tüüpi mõõtemääramatus on<br />
− d<br />
2<br />
1 N<br />
10 N<br />
=<br />
u ( D)<br />
∆ / 3 = 0,017 mm.<br />
B<br />
= o<br />
)<br />
0,022 mm,<br />
Siit summaarne diameetri mõõtemääramatus katteteguriga k = 2 (s.o usaldusnivooga<br />
p = 95%) on<br />
u<br />
2<br />
( D)<br />
= 2 ⋅ ( u ( D))<br />
+ ( u ( D))<br />
A<br />
B<br />
2<br />
= 2 ⋅<br />
(0,022)<br />
2<br />
+ (0,017)<br />
2<br />
= 0,056 mm.<br />
Massi kaalusime ühekordselt neljanda klassi kaaludega. Mass osutus võrdseks järgmiste vihtide<br />
masside summaga<br />
µ = ( 20 + 2 + 2 + 0,1 + 0,05) g =<br />
24,15 g.<br />
Massi määramise põhiviga liitub kaalude põhiveast 50 mg ja vihtide põhivigadest, mis neljanda<br />
klassi vihtide puhul on (vt lisa 2) 20, 6, 6, 1 ja 1 mg. Seega saame massi põhiveaks<br />
2 2 2 2 2 2<br />
∆<br />
0<br />
( M ) = 50 + 20 + 6 + 6 + 1 + 1 = 54,5 mg<br />
ning B-tüüpi määramatuseks usaldusnivool 95 % uB<br />
( M ) = 2⋅<br />
∆<br />
o(<br />
M ) / 3.<br />
Kuna kordsed<br />
massi mõõtmised annaksid siin kogu aeg ühe ja sama tulemuse, siis loeme massi A-tüüpi<br />
mõõtemääramatuse nulliks ning saame<br />
2 ⋅ ∆<br />
o(<br />
M )<br />
u( M ) = uB<br />
( M ) = = 63 mg = 0,063 g.<br />
3<br />
58
Change language