JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
5.2. Mõõtevead ja mõõtemääramatus Seejärel hinnatakse mõõdetud suuruse aritmeetilise keskmise standardhälve valemiga (punkt 3.9, valem (9.7)): u ∑ ( xi − x N ) i= 1 = u( x N ) = N( N −1) N . Kui mõõtmiste arv on piisavalt suur (praktikas N > 30 ), siis võib selle standardhälbe võtta standardmääramatuseks, sest sel juhul on N x N ja 2 u N piisavalt lähedased juhusliku suuruse σ ( x N Eeldades, tõelisele keskväärtusele ja aritmeetilise keskmise tõelisele standardhälbele ). et üksikmõõtmised on jaotunud normaalselt, saame kasutada normaaljaotuse usaldusnivoode arvutuseeskirja ehk teiste sõnadega: võime rakendada normaaltesti. Võime väita, et usaldusnivooga 0.68 (68 %) on mõõdetava suuruse tegelik väärtus x vahemikus [ x N − uN , x N + uN ], usaldusnivooga 0.95 (95 %) vahemikus [ x N 2 uN , x N + 2u N ] usaldusnivooga 0.997 (99.7 %) vahemikus [ x N − 3 u , x N + 3u ] jne. N N t − , Väikeste N -ide korral aga on u N süstemaatiliselt väiksem σ( x N ) -ist, s.t normaaltest annab iga usaldusnivoo korral süstemaatiliselt alla hinnatud usaldusintervalli pikkuse. Studenti test Põhjus on selles, et nii x N kui ka u N on mõlemad tegelikult juhuslikud suurused ja ei ole rangelt võttes ei tõeline keskväärtus ega aritmeetilise keskmise tõeline standardhälve (kuigi nad on nendele suurustele lähedased, sest nende hajuvus on väike). Inglise teadlane Student, alias W.S. Gosset tõestas: Kui X on normaalne juhuslik suurus, siis juhuslik suurus allub jaotusele tihedusega s N −1 ( t) T x N ( x N ) [ ] − m X u = (2.3) C N −1 ⎛ ⎜1+ ⎝ 2 t ⎞ ⎟ N −1⎠ − N / 2 = . (2.4) Siin C N −1 on normeerimistegur. Jaotust (2.4) nimetatakse (N-1 vabadusastmega) Studenti jaotuseks. Studenti jaotus erinevate N −1 väärtuste korral on toodud joonisel 2.2, millelt on ka näha, kuidas see funktsioon vabadusastmete arvu kasvades läheneb standardiseeritud normaaljaotusele. 48
5.2. Mõõtevead ja mõõtemääramatus s 1 s 2 s 5 ( x ) ( x ) ( x ) 0.4 0.3 s 10 ( x ) 0.2 f ( x ) 0.1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Joonis 2.2. Ühe, kahe, viie ja kümne vabadusastmega Studenti jaotus ( ) ning standardiseeritud normaaljaotus ). 49 x f (x s x N − 1 s N − sõltub Studenti jaotuse oluline omadus on, et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon ( ) vaid ühest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) N −1 ja ei sõltu üldse juhusliku suuruse (mõõdetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskväärtusest (küll on aga oluline X normaalsus). Selles mõttes on tegu universaalfunktsiooniga, mis iseloomustab suvaliste ühesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa üldisi omadusi. Otsene järeldus asjaolust, et juhuslik suurus (2.3) allub Studenti jaotusele on, et usaldusnivoole p vastav mõõtmistulemuse paiknemise intervall on esitatav kujul P Siin suurus ( ) [ x N − t p) u( x N ) < x < x N + t ( p) u( x N )] = . 1 p N 1( N −1 p − (2.5) t N − on (Studenti) t-kordaja (usaldusnivoo p ja −1 1 t N vabadusastme korral). t-kordaja on samuti ainult ühest parameetrist N sõltuv universaalne usaldusnivoo funktsioon, mis on leitav Studenti jaotusest. Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p väärtuste jaoks tabuleeritult. Studenti t-kordaja tabuleeritud väärtused on toodud lisas 1. Valemit (2.5) nimetatakse Studenti testiks. t-kordaja abil saab hinnata A-tüüpi mõõtemääramatust antud usaldusnivoo korral avaldisega u ( xi − x) i= 1 ( p) ≡ u( x N , p) = tN −1( p) ⋅u( x N ) = tN −1( p) ⋅ N( N −1) A (2.6) Oleme siin toonud sisse usaldusnivoost sõltuva A-tüüpi mõõtemääramatuse üldtähisena u A ( p) ja u ( x N , p) u ja u ( x N ) A erinevalt suurustest A A N ∑ , millega tähistasime aritmeetilise keskmise 2 .
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
- Page 3 and 4: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
- Page 5 and 6: 3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f
- Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
- Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63 and 64: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 65 and 66: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
- Page 67 and 68: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 69 and 70: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
5.2. Mõõtevead ja mõõtemääramatus<br />
s 1<br />
s 2<br />
s 5<br />
( x )<br />
( x )<br />
( x )<br />
0.4<br />
0.3<br />
s 10<br />
( x )<br />
0.2<br />
f<br />
( x )<br />
0.1<br />
4 3 2 1 0 1 2 3 4<br />
Joonis 2.2. Ühe, kahe, viie ja kümne vabadusastmega Studenti jaotus ( )<br />
ning standardiseeritud normaaljaotus ).<br />
49<br />
x<br />
f (x<br />
s x N − 1<br />
s N −<br />
sõltub<br />
Studenti jaotuse oluline omadus on, et juhusliku suuruse T jaotusfunktsioon ( )<br />
vaid ühest parameetrist (nn vabadusastmete arvust) N −1<br />
ja ei sõltu üldse juhusliku suuruse<br />
(mõõdetava suuruse) X konkreetsest dispersioonist ega keskväärtusest (küll on aga oluline X<br />
normaalsus). Selles mõttes on tegu universaalfunktsiooniga, mis iseloomustab suvaliste<br />
ühesuguse normaaljaotusega juhuslike suuruste summa üldisi omadusi. Otsene järeldus asjaolust,<br />
et juhuslik suurus (2.3) allub Studenti jaotusele on, et usaldusnivoole p vastav mõõtmistulemuse<br />
paiknemise intervall on esitatav kujul<br />
P<br />
Siin suurus ( )<br />
[ x N − t p)<br />
u(<br />
x N ) < x < x N + t ( p)<br />
u(<br />
x N )] = .<br />
1 p<br />
N 1( N −1<br />
p<br />
−<br />
(2.5)<br />
t N −<br />
on (Studenti) t-kordaja (usaldusnivoo p ja −1<br />
1 t<br />
N vabadusastme<br />
korral). t-kordaja on samuti ainult ühest parameetrist N sõltuv universaalne usaldusnivoo<br />
funktsioon, mis on leitav Studenti jaotusest. Tavaliselt antakse t-kordaja kindlate p väärtuste<br />
jaoks tabuleeritult. Studenti t-kordaja tabuleeritud väärtused on toodud lisas 1.<br />
Valemit (2.5) nimetatakse Studenti testiks.<br />
t-kordaja abil saab hinnata A-tüüpi mõõtemääramatust antud usaldusnivoo korral avaldisega<br />
u<br />
( xi<br />
− x)<br />
i=<br />
1<br />
( p)<br />
≡ u(<br />
x N , p)<br />
= tN<br />
−1(<br />
p)<br />
⋅u(<br />
x N ) = tN<br />
−1(<br />
p)<br />
⋅<br />
N(<br />
N −1)<br />
A<br />
(2.6)<br />
Oleme siin toonud sisse usaldusnivoost sõltuva A-tüüpi mõõtemääramatuse üldtähisena u A<br />
( p)<br />
ja u ( x N , p)<br />
u ja u ( x N )<br />
A<br />
erinevalt suurustest<br />
A<br />
A<br />
N<br />
∑<br />
, millega tähistasime aritmeetilise keskmise<br />
2<br />
.
Change language