JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
3.1. Keskväärtus Diskreetse juhusliku suuruse X { x x ..., } suurust (arvu) ( k kus p = P X = x ) . k = keskväärtuseks nimetatakse n m = ∑ k = 1 Kui võimalike väärtuste hulk on loenduv, siis 1 , 2 , ∑ ∞ k = 1 x k p k x n , (1.1) m = x p k k , (1.2) kusjuures eeldatakse, et summa paremal koondub (on lõplik). Kui summa ei koondu, siis harilikult keskväärtust juhuslikule suurusele ei omistata. Pideva juhusliku suuruse X, mille jaotustihedus on f (x) ja võimalike väärtuste hulk on kogu reaaltelg, keskväärtuseks nimetatakse arvu +∞ ∫ −∞ m = xf x) dx eeldusel, et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt). Kui võimalike väärtuste hulgaks on lõik [ a, b] , siis b ∫ m = xf x) dx a ( , (1.3) ( . (1.4) Märkus. Valemid keskväärtuse arvutamiseks langevad kokku valemitega varda massikeskme arvutamiseks, kui varda mass on võrdne ühega. Teisisõnu, keskväärtus on ühikmassiga varda staatiline moment. Näide. Astmejaotuse keskväärtus. Astmejaotus on konstant −1 ⎪ ⎧r −1 , x ≥ 1, f ( x; r) = r ⎨ x (1.5) < 1, ⎪⎩ 0, x r lugejas arvestab normeeringut ( f integraal x järgi rajades [ ,∞) 1 olgu võrdne ühega). On näha: selleks, et jaotus oleks positiivne, peab kehtima r > 1. Astmejaotuse graafik on toodud erinevate parameetri r väärtuste korral joonisel 1.1. 4
3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f( x, 2.0) f( x, 2.5) 1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 x Joonis 1.1 Arvutame astmejaotuse keskväärtuse ∞ ∞ ∞ 1−r r −1 ⎛ 1 ⎞ m = ∫ x f ( x, r) dx = ( r −1) ∫ x dx = ⎜ r −2 ⎟ . 2 − r 1 1 ⎝ x ⎠1 Näeme, et keskväärtuse eksisteerimiseks on tarvilik tingimuse r − 2 > 0 ehk r > 2 kehtimine – vastasel juhul ei koonduks ümarsulgudes olev avaldis lõpmatuses nulliks, vaid oleks lõpmata suur. Kui see tingimus on täidetud, siis saame r −1 = , r r − 2 m . (1.6) > 2 Seega, keskväärtus on alati suurem ühest (pole ka midagi imestada, kuna kogu jaotuse kandja asub punktist üks paremal) ja kasvab piiramatult kui r läheneb ühele paremalt (joonis 1.2). 10 8 m( r) 6 4 2 0 2 4 6 8 10 r Joonis 1.2 5
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
- Page 3: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
- Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
- Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
3.1. Keskväärtus<br />
Diskreetse juhusliku suuruse X { x x ..., }<br />
suurust (arvu)<br />
(<br />
k<br />
kus p = P X = x ) .<br />
k<br />
= keskväärtuseks nimetatakse<br />
n<br />
m = ∑<br />
k = 1<br />
Kui võimalike väärtuste hulk on loenduv, siis<br />
1 , 2 ,<br />
∑ ∞<br />
k = 1<br />
x k p k<br />
x n<br />
, (1.1)<br />
m = x p k k<br />
, (1.2)<br />
kusjuures eeldatakse, et summa paremal koondub (on lõplik). Kui summa ei koondu, siis<br />
harilikult keskväärtust juhuslikule suurusele ei omistata.<br />
Pideva juhusliku suuruse X, mille jaotustihedus on f (x)<br />
ja võimalike väärtuste hulk on kogu<br />
reaaltelg, keskväärtuseks nimetatakse arvu<br />
+∞<br />
∫<br />
−∞<br />
m = xf x)<br />
dx<br />
eeldusel, et integraal eksisteerib (koondub absoluutselt).<br />
Kui võimalike väärtuste hulgaks on lõik [ a, b]<br />
, siis<br />
b<br />
∫<br />
m = xf x)<br />
dx<br />
a<br />
( , (1.3)<br />
( . (1.4)<br />
Märkus. Valemid keskväärtuse arvutamiseks langevad kokku valemitega varda massikeskme<br />
arvutamiseks, kui varda mass on võrdne ühega. Teisisõnu, keskväärtus on ühikmassiga varda<br />
staatiline moment.<br />
Näide. Astmejaotuse keskväärtus.<br />
Astmejaotus on<br />
konstant −1<br />
⎪<br />
⎧r<br />
−1<br />
, x ≥ 1,<br />
f ( x;<br />
r)<br />
= r<br />
⎨ x<br />
(1.5)<br />
< 1, ⎪⎩ 0,<br />
x<br />
r lugejas arvestab normeeringut ( f integraal x järgi rajades [ ,∞)<br />
1 olgu võrdne<br />
ühega). On näha: selleks, et jaotus oleks positiivne, peab kehtima r > 1. Astmejaotuse graafik<br />
on toodud erinevate parameetri r väärtuste korral joonisel 1.1.<br />
4
Change language