JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

4.5. Kovariatsioonimaatriks
[ X , Y ]
[ X ] σ[ Y ]
K
≡ r[ X , Y ] =
.
(5.2)
σ
Märkus. On võimalik defineerida ka juhusliku suuruse korrelatsioonimoment ja korrelatsiooni-
X X X X
K X , X = D X ,
kordaja iseendaga: K [ , ] ja r [ , ]. Ilmselt aga kehtib [ ] [ ]
r [ X , X ] =1.
Korrelatsioonikordaja ja korrelatsioonimomendi omadusi.
1. Sõltumatute juhuslike suuruste korrelatsioonikordaja.
Sõltumatute juhuslike suuruste korrelatsioonimoment K ja korrelatsioonikordaja r on nullid.
Selles on lihtne veenduda, kasutades asjaolu, et sõltumatute juhuslike suuruste tõenäosustihedus
esitub ühemõõtmeliste tiheduste korrutisena (vt punkt (4.3), valem (3.5)):
f ( x,
y)
= g(
x)
h(
y)
. Seetõttu annab (8.1)
K
ning järeldusena (5.2)-st [ X Y ]
⎡
⎢⎣
0
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
0
[ X , Y ] = m X m Y = 0⋅
0 = 0
r , = 0.
⎤
⎥⎦
2. Korrelatsioonikordaja tõkestatus. Kehtib (Cauchy-Bunjakovski-Schwartzi) võrratus
ehk
2
( K[ X Y ]) ≤ D[ X ] D[ Y ]
K
, (5.3)
[ X Y ] ≤ σ [ X ] σ [ Y ]
millest järeldub tingimus korrelatsioonikordajale
Tõestuseks vaatleme alati mittenegatiivset suurust
, ,
−1 ≤ r ≤ 1. (5.4)
2
⎡ 0 0 ⎤
p ( a)
≡ m
⎛ ⎞
⎢⎜
X + aY
⎟ ⎥ ≥ 0.
⎣⎝
⎠ ⎦
Siin a on suvaline reaalne parameeter. Selle avaldisega oleme defineerinud parameetri a
funktsiooni p (a)
, mis peab olema mittenegatiivne suvalise a väärtuse korral. Arendades siin
ruutliikme binoomina, saame sama tingimuse kujul
Kui
2
[ X ] + 2aK[ X , Y ] + a D[ ] ≥ 0 .
p ( a)
= D
Y
a → ± ∞ , siis p kasvab piiramatult ja läheneb + ∞ -le. Funktsiooni miinimum
a , aga ka seal ei tohi p omandada negatiivset väärtust, s.t
peab saabuma mingis vahepunktis
0
peab kehtima
34