JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

4.5. Kovariatsioonimaatriks
4.5. Kovariatsioonimaatriks
Kahemõõtmelise juhusliku vektori ( X , Y ) kovariatsioonimaatriks on teist järku
tsentreeritud (sega)momentide maatriks dimensiooniga 2x2:
m
2
m[ ( X − m[ X ])
] m[ ( X − m[ X ])( Y − m[ Y ])]
2
[( Y − m[ Y ])( X − m[ X ])] m[ ( Y − m[ Y ])
]
D[ X ] K[ X , Y ]
=
.
K[ X , Y ] D[ Y ]
Niisiis, see on II järku sümmeetriline ruutmaatriks. Segamomentide maatriksi kujul kirjutamine
on siin vaid parema ülevaatlikkuse saavutamiseks. Diagonaalelemendid on juhusliku vektori
komponentide dispersioonid
∞
∫
−∞
2
D [ X ] = ( x − m[ X ]) g(
x)
dx,
D [ Y ] ( y − m[ Y ])
Need langevad kokku ühemõõtmelise juhusliku suuruse dispersioonidega.
∞
∫
−∞
2
= h(
y)
dy .
Kõrvalelemendid (mittediagonaalsed elemendid maatriksis) on võrdsed ja kujutavad enesest
juhuslike suuruste X ja Y korrelatsioonimomenti ehk kovariatsiooni, mille tähis on
[ X , Y ],
cov[ X , ].
K , K
Y
Tähis cov on rohkem kasutusel matemaatikute hulgas.
Kovariatsioonimoment on defineeritud integraaliga
∞
[ X , Y ] = ( x − m[ X ])( y − m[ Y ]) f ( x,
y dx dy
∫
∞
∫
K ≡ K
)
−∞
ehk keskmistusoperaatorit kasutades
K
−∞
⎡
⎢⎣
[ X , Y ] = m X Y .
0
0
⎤
⎥⎦
=
. (5.1)
See on X ja Y tsentreeritud teist järku segamoment: kumbki juhuslik suurus läheb sellesse
avaldisse esimeses astmes, moment on aga teist järku, kuna X ja Y teineteisega korrutamise
tõttu on siin juhuslikkus teises astmes.
Korrelatsioonimomendi arvutamiseks võib kasutada (8.1)-st tulenevat arvutuvalemit (tuletada
iseseisvalt!)
K
[ X , Y ] = m[ XY ] − m[ X ] m[ Y ].
Kõrvuti korrelatsioonimomendiga K on kasutusel ja levinud suurus ka korrelatsioonikordaja
r , mis on standardhälvetele normeeritud korrelatsioonimoment:
33