JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
4.3. Kahemõõtmeline pidev juhuslik vektor Sõltumatuteks nimetamine on õigustatud sellega, et siin ühe suuruse realiseerumise tõenäosus ei sõltu sellest, milline on parajasti teise suuruse väärtus. Näide 1. Olgu juhuslikuks sündmuseks konkreetse inimese valimine kogu maakera elanikkonna (inimsoo) hulgast. Selle inimese pikkus X on juhuslik suurus, samuti tema vanus (sekundites) Y . Koos moodustavad pikkus ja vanus kahemõõtmelise vektori ( X , Y ) . Ilmselt ei ole siin tegu sõltumatute juhuslike suurustega, kuna vananedes (vähemal esimese 15–20 aasta jooksul) suureneb ka kasv. Märkus. Vaadates lisaks vanusele ja kasvule ka kehakaalu Z , saame iga juhusliku sündmusega juba siduda kolmemõõtmelise juhusliku vektori ( X , Y, Z) . Vektori dimensiooni on võimalik veelgi jätkata, sest inimesel on kaugelt suurem hulk juhuslikke („kordumatuid“) parameetreid kui siinnimetatud kolm. Näide 2. Kahemõõtmelise, piirkonnas Ω ühtlaselt jaotunud juhusliku vektori jaotustihedus on f ( x, y) = ⎧ 1 ⎪ , ⎨S( Ω) ⎪⎩ 0, ( X , Y ) ∈ Ω, ( X , Y ) ∉ Ω, kus S (Ω) on kujundi Ω pindala. Jaotustihedus on konstantne ala Ω kõigis punktides (see konstantsus tähendabki ühtlast jaotumust). Et konstant on just parajasti võrdne ala pindala pöördväärtusega, see järeldub normeerimistingimusest (3.2) (näidata iseseisvalt). Kahemõõtmelise ühtlaselt jaotunud juhusliku suuruse jaotustiheduse näide on toodud joonisel 3.3a. Joonis 3.3a Joonis 3.3b Et ühtlase jaotusega kahemõõtmelise vektori komponendid X ja Y oleksid vastastikku sõltumatud, peab piirkond Ω olema ristkülik, mis on orienteeritud x, y -telgede sihiliselt (joonis 3.3b). Sel ja ainult sel juhul on jaotustihedus alas Ω esituv ühedimensionaalsete jaotuste korrutisena: 30
kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel [ a, ] ja [ ] 4.4. Juhusliku kahemõõtmelise vektori keskväärtus 1 f ( x, y) = g( x) h( y) ( b − a)( d − c) = , h on vastavad ühemõõtmelised ühtlased jaotused, mis on lokaliseeritud ⎧ 1 ⎪ , a ≤ x ≤ b , g ( x) = ⎨( b − a) x < a, x > b, ⎪⎩ 0, h ( y) = ⎧ 1 ⎪ , ⎨( d − c) ⎪⎩ 0, c ≤ y y < c, ≤ d y > , d. Lihtne on veenduda, et kõik selles näites esitatud jaotused on korrektselt normeeritud ühele. Näide 3. Kahe normaalselt jaotunud (vt punkt 2.7), vastastikku sõltumatu juhusliku suuruse, mille jaotusfunktsioonid on vastavalt 2 2 1 ⎛ ( x − a) ⎞ 1 ⎛ ( y − b) ⎞ g ( x) = exp⎜ − ⎟, ja h ( y) = exp⎜ − ⎟, 2 2 σ 2π ⎝ 2σ ⎠ µ 2π ⎝ 2µ ⎠ ühine jaotusfunktsioon esitub korrutisena f 2 1 ⎛ ( x − a) ( y − b) ( x, y) = g( x) h( y) = exp⎜− − 2 2 2π σµ ⎝ 2σ 2µ 2 ⎞ ⎟. ⎠ Selle funktsiooni (kvalitatiivne) graafik on juhul a = b = 0 , = µ = 1 σ esitatud joonisel 3.2. 4.4. Juhusliku kahemõõtmelise vektori keskväärtus Kahemõõtmeline juhuslik vektor komponentidega ( X , Y ) on täielikult iseloomustatud kahemõõtmelise jaotustiheduse f ( x, y) poolt. Sealhulgas, kahemõõtmelisest jaotustihedusest saab arvutada ka suuruste X ja Y ühemõõtmelised jaotustihedused g (x) ja h (y) vastavalt eelnevas punktis toodud valemitele (3.3 ) ja (3.4). Järgnevates punktides anname sama vektori statistilise kirjelduse esimest ja teist järku momentide tasemel. 31
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
- Page 3 and 4: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
- Page 5 and 6: 3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f
- Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
- Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63 and 64: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 65 and 66: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
- Page 67 and 68: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 69 and 70: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
kus (x)<br />
g ja (y)<br />
b c, d :<br />
lõikudel [ a, ] ja [ ]<br />
4.4. Juhusliku kahemõõtmelise vektori keskväärtus<br />
1<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= g(<br />
x)<br />
h(<br />
y)<br />
( b − a)(<br />
d − c)<br />
= ,<br />
h on vastavad ühemõõtmelised ühtlased jaotused, mis on lokaliseeritud<br />
⎧ 1<br />
⎪ , a ≤ x ≤ b ,<br />
g ( x)<br />
= ⎨(<br />
b − a)<br />
x < a,<br />
x > b,<br />
⎪⎩ 0,<br />
h ( y)<br />
=<br />
⎧ 1<br />
⎪ ,<br />
⎨(<br />
d − c)<br />
⎪⎩ 0,<br />
c ≤ y<br />
y < c,<br />
≤ d<br />
y ><br />
,<br />
d.<br />
Lihtne on veenduda, et kõik selles näites esitatud jaotused on korrektselt normeeritud ühele.<br />
Näide 3. Kahe normaalselt jaotunud (vt punkt 2.7), vastastikku sõltumatu juhusliku suuruse,<br />
mille jaotusfunktsioonid on vastavalt<br />
2<br />
2<br />
1 ⎛ ( x − a)<br />
⎞<br />
1 ⎛ ( y − b)<br />
⎞<br />
g ( x)<br />
= exp⎜<br />
− ⎟,<br />
ja h ( y)<br />
= exp⎜<br />
− ⎟,<br />
2<br />
2<br />
σ 2π<br />
⎝ 2σ<br />
⎠ µ 2π<br />
⎝ 2µ<br />
⎠<br />
ühine jaotusfunktsioon esitub korrutisena<br />
f<br />
2<br />
1 ⎛ ( x − a)<br />
( y − b)<br />
( x,<br />
y)<br />
= g(<br />
x)<br />
h(<br />
y)<br />
= exp⎜−<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2π<br />
σµ ⎝ 2σ<br />
2µ<br />
2<br />
⎞<br />
⎟.<br />
⎠<br />
Selle funktsiooni (kvalitatiivne) graafik on juhul a = b = 0 , = µ = 1<br />
σ esitatud joonisel 3.2.<br />
4.4. Juhusliku kahemõõtmelise vektori keskväärtus<br />
Kahemõõtmeline juhuslik vektor komponentidega ( X , Y ) on täielikult iseloomustatud<br />
kahemõõtmelise jaotustiheduse f ( x,<br />
y)<br />
poolt. Sealhulgas, kahemõõtmelisest jaotustihedusest<br />
saab arvutada ka suuruste X ja Y ühemõõtmelised jaotustihedused g (x)<br />
ja h (y)<br />
vastavalt<br />
eelnevas punktis toodud valemitele (3.3 ) ja (3.4). Järgnevates punktides anname sama vektori<br />
statistilise kirjelduse esimest ja teist järku momentide tasemel.<br />
31
Change language