JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
4.3. Kahemõõtmeline pidev juhuslik vektor 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhuslik vektor ( X Y on pidev, kui tema mõlemad komponendid X ja Y Kahemõõtmeline juhuslik vektor , ) on pidevad juhuslikud suurused. Eelnevas punktis vaadeldud diskreetse juhusliku vektori jaotustabeli loomulikuks üldistuseks ning samal ajal ka ühemõõtmelise pideva juhusliku suuruse üldistuseks kahemõõtmelisele juhule on kahemõõtmeline jaotusfunktsioon ehk kahemõõtmeline jaotustihedus ehk kahemõõtmeline tõenäosustihedus f ( x, y) , mis on defineeritud järgneva seosega: P ( x X < x + dx, y ≤ Y < y + dy) = f ( x, y) dxdy ≤ . (3.1) dS = dx dy Niisiis, tõenäosus saada juhuslik vektor punkti (x,y) ümbrusse pinnaelemendile on võrdeline selle pinnaelemendi pindalaga, kusjuures võrdeteguriks on tõenäosustihedus. Avaldame valemist (3.1)-st tõenäosustiheduse: f ( x, y) P( x ≤ X < x + dx, y ≤ Y < dxdy y + dy) = . See esitus ütleb, et tõenäosustihedus on tõenäosus pinnaühiku kohta vektori ( X , Y ) sattumiseks punkti ( x , y) ümbrusesse. Tõenäosus P ( x ≤ X < x + dx, y ≤ Y < y + dy) on võrdne risttahuka ruumalaga, mille aluse külgede pikkused on dx ja dy ning kõrgus on f ( x, y) (joonis 3.1). Seepärast nimetatakse seda suurust P ( x ≤ X < x + dx, y ≤ Y < y + dy) ka tõenäosuselemendiks. f f(x,y) y x Joonis 3.1 dy dx Samas koordinaadistikus kujutab tõenäosustihedus kõverpinda, mis kõikjal paikneb ülalpool x,ytasandit nagu kujutatud joonisel 3.2. 28
4.3. Kahemõõtmeline pidev juhuslik vektor f(x)*f(y) 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Joonis 3.2. Kahemõõtmelise jaotuse näide (kahemõõtmeline normaaljaotus) Diskreetse normeerimistingimuse (2.2) pidev analoog on ∞ ∞ ∫∫ −∞ −∞ ∫∫ f ( x, y) dx dy ≡ f ( x, y) dS = 1. (3.2) 2 2 R = ( −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞) tähistab siin kogu tasandit, dS on pinnaelement sellel tasandil. Analoogiliselt (2.3) ja (2.4)-ga annab jaotustiheduse integreerimine ühe argumendi järgi ühemõõtmelise jaotustiheduse teisele vektori komponendile: ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ −∞ f ( x, y) dy = g( x) f ( x, y) dx = h( y) 29 R , (3.3) , (3.4) g (x on juhusliku suuruse X jaotustihedus ja h (y) on juhusliku suuruse Y kus ) jaotustihedus. Kahte pidevat juhuslikku suurust (juhusliku vektori komponente) nimetatakse sõltumatuteks (nad on sõltumatud juhuslikud suurused), kui nende jaotusfunktsioon esitub ühemõõtmeliste jaotuste korrutisena: f ( x, y) = g( x) h( y) . (3.5)
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
- Page 3 and 4: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
- Page 5 and 6: 3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f
- Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
- Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 61 and 62: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 63 and 64: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 65 and 66: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
- Page 67 and 68: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 69 and 70: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 71 and 72: 5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
- Page 73 and 74: Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
4.3. Kahemõõtmeline pidev juhuslik vektor<br />
f(x)*f(y)<br />
0.16<br />
0.14<br />
0.12<br />
0.1<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
-3<br />
-2<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
-3<br />
-2<br />
-1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Joonis 3.2. Kahemõõtmelise jaotuse näide (kahemõõtmeline normaaljaotus)<br />
Diskreetse normeerimistingimuse (2.2) pidev analoog on<br />
∞<br />
∞<br />
∫∫<br />
−∞ −∞<br />
∫∫<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dx dy ≡ f ( x,<br />
y)<br />
dS = 1. (3.2)<br />
2<br />
2<br />
R = ( −∞ < x < ∞,<br />
− ∞ < y < ∞)<br />
tähistab siin kogu tasandit, dS on pinnaelement<br />
sellel tasandil.<br />
Analoogiliselt (2.3) ja (2.4)-ga annab jaotustiheduse integreerimine ühe argumendi järgi<br />
ühemõõtmelise jaotustiheduse teisele vektori komponendile:<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dy = g(<br />
x)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dx = h(<br />
y)<br />
29<br />
R<br />
, (3.3)<br />
, (3.4)<br />
g (x on juhusliku suuruse X jaotustihedus ja h (y)<br />
on juhusliku suuruse Y<br />
kus )<br />
jaotustihedus.<br />
Kahte pidevat juhuslikku suurust (juhusliku vektori komponente) nimetatakse sõltumatuteks<br />
(nad on sõltumatud juhuslikud suurused), kui nende jaotusfunktsioon esitub ühemõõtmeliste<br />
jaotuste korrutisena:<br />
f ( x,<br />
y)<br />
= g(<br />
x)<br />
h(<br />
y)<br />
. (3.5)
Change language