JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

3.7. Keskväärtuse hindamine mõõtmistulemustest
m * = ∑ x j p j
. (7.1’)
j
See valem on samasuguse väljanägemisega nagu on diskreetse suuruse keskväärtuse arvutusvalem.
Sisuline erinevus siiski on ja see seisneb selles, et siin on p
j
sagedushinnang, mis
läheneb nullile, kui intervallide arv läheneb lõpmatusele ja intervalli pikkus nullile. Sel piirjuhul
on muidugi õigem ja järjekindlam kasutada valemit (7.1).
Osutub, eksisteerib tunduvalt lihtsam viis keskväärtuse hindamiseks, mida enamikul juhtudel
kasutatakse, ja mis on eriti õigustatud ja mugav, kui mõõtmiste arv on väike. See keskväärtuse
hinnang on aritmeetiline keskmine. Vaatame taas juhusliku suuruse realisatsioonide jada e
valimit
x x x x x .,
1
,
2,.....
i 1,
i,
i+
1,......
x
N
−
(7.2)
(tõime sisse esmakordselt punktis 2.6, kui asusime sagedusjaotust kirjeldama). Keskväärtuse
hindamine sellel valimil aritmeetilise keskmisega käib valemiga
N
1
m ≈ x N = ∑ x i
,
(7.3)
N
s.t, me arvutame üksikmõõtmiste aritmeetilise keskmise.
See valem tundub põhjalikult erinevat hinnangust (7.1). Tegelikult on need valemid aga väga
lähedased ning annavad lähedased tulemused, eriti kui N ja M on piisavalt suured. Tegemist
on vaid erinevate summeerimisviisidega. Aritmeetilise keskmise arvutamisel summeerime
tulemused nii, nagu nad meil „naturaalselt“ tulevad, s.o mõõtmistest saame ja saamise järjekorras
nummerdanud oleme, seejärel jagame tulemuse läbi katsete üldarvuga. Valemi (7.1) kasutamisel
oleme aga eelnevalt grupeerinud liidetavad gruppidesse juhusliku suuruse X lähedaste
väärtuste järgi. Et (7.3) ja (7.1) on praktiliselt üks ja seesama, veendume, kui grupeerime summa
(7.3)-s ümber ja toome ta kujule (7.1). Selleks tuleb koguda samasse gruppi kõik need
mõõtmistulemused, mis kuuluvad väärtuste poolest parajasti intervalli ∆ j
ja sel viisil
grupeerida kõik N mõõtmistulemust vastavalt x
i
kuuluvusele ühte või teisse intervalli:
i=
1
x
N
=
1
N
N
∑
i=
1
x
i
=
1
N
M
∑
j=
1
∑
x ∈∆
k
j
x
k
≈
1
N
M
∑
j=
1
x
j
∑
x ∈∆
k
1
j
=
=
1
N
M
∑
j=
1
x
j
n
j
=
M
∑
j=
1
x
j
p
j
=
M
∑
j=
1
x
j
f
*
j
∆
j
=
m
*
.
Ümbergrupeerimise olu illustreerib joonis 7.1.
Lõigule ∆
j
satub n
j
mõõtmistulemust (tähistatud pidevate joontega, kuna mujale sattuvad
mõõtmistulemused on antud punktiiriga), mis aga üldjuhul (pideva juhusliku suuruse puhul)
võivad erineda intervalli keskväärtusest x maksimaalselt ± / 2 võrra.
j
∆ j
19