JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

More documents

Recommendations

Info

3.6. Normaaljaotuse keskväärtus ja dispersioon m = = σ +∞ ∫ −∞ x σ 1 2π ∞ ∫ −∞ 1 ⎛ ( x − a) exp⎜ − 2 2π ⎝ 2σ 1 = σ 2π ⎛ y exp⎜ − ⎝ 2 y 2σ 2 ∞ ∫ −∞ 2 ⎞ 1 ⎟dx = ⎠ σ 2π ⎛ ( y + a)exp⎜ − ⎝ 2 y 2σ ⎞ a ⎟dy + ⎠ σ 2π 2 ⎞ ⎟dy = ⎠ ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ −∞ ⎛ ( x − a) x exp⎜ − 2 ⎝ 2σ ⎛ exp⎜ − ⎝ 2 y 2σ 2 2 ⎞ ⎟dy . ⎠ ⎞ ⎟dx ⎠ = Siin esimene integraal on null, kuna tema integrand on koordinaatide alguse suhtes paaritu funktsioon: ∞ ∫ −∞ = ⎛ y exp⎜ − ⎝ − ∞ ∫ 0 2 y 2σ 2 ⎛ y exp⎜ − ⎝ ⎞ ⎟dy ⎠ 2 y 2σ 2 = ⎞ ⎟dy ⎠ 0 ∫ −∞ ⎛ y exp⎜ − ⎝ + ∞ ∫ 0 2 y 2σ 2 ⎛ y exp⎜ − ⎝ ⎞ ⎟dy ⎠ 2 y 2σ (Tegime negatiivsel poolteljel antud integraalis muutujavahetuse 2 + ⎞ ⎟dy ⎠ y ∞ ∫ 0 ⎛ y exp⎜ − ⎝ = 0 . → − y .) 2 y 2σ 2 ⎞ ⎟dy ⎠ Teine integraal m avaldises võrdub a korda normaaljaotuse norm. Et tegu on normeeritud jaotusega ja norm on üks, siis olemegi saanud võrduse (6.2). Võrduse (6.3) tõestamiseks lähtume dispersiooni definitsioonist (2.5) D = = +∞ ∫ −∞ ( x − m) σ 1 2 π 2 +∞ ∫ −∞ σ 1 ⎛ ( x − a) exp⎜ − 2 2π ⎝ 2σ ( x − a) 1 = y σ 2π ∫ 2 ∞ −∞ 2 ⎛ ( x − a) exp⎜ − 2 ⎝ 2σ 2 ⎛ exp⎜ − ⎝ 2 y 2σ 2 ⎞ ⎟dx ⎠ 2 ⎞ ⎟dx ⎠ ⎞ ⎟dy. ⎠ 2 Tähistame siin ajutiselt eksponendi all α = 1/(2σ ). Siis saame integraali arvutada nii: ∞ ∫ −∞ y 2 2 ⎛ y exp⎜ − ⎝ 2σ 2 ⎞ ⎟dy = ⎠ y 2 exp Normeerimistingimusest (punkti 2.7 valem (7.2)) järeldub ∞ ∫ −∞ ∞ 2 d 2 ( − αy ) dy = − ∫ exp( − αy ) dy. dα −∞ = = (*) (**) 16
∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus ja dispersioon 2 ∞ 2 ⎛ ( x − a) ⎞ ⎛ y ⎞ exp⎜ − ⎟dx = exp⎜ − ⎟ 2 2 ⎝ 2σ ∫ dy ⎠ −∞ ⎝ 2σ ⎠ mis parameetrile α üle minnes annab ∞ ∫ −∞ 2 π exp( − αy ) dy = . α Pannes selle integraali väärtuse avaldisse (**), saame ∞ ∫ −∞ y 2 = 2 ⎛ y exp⎜ − ⎝ 2σ π 2 2 3/ 2 2 σ ⎞ ⎟dy ⎠ 3 = d = − dα σ 3 17 2π. π α = = π 3/ 2α 2 σ = 2π, Saadud tulemuse paigutamine avaldisse (*) annab valemi (6.3). Normaaljaotuse praktilisel kasutamisel (näit mõõtevigade teoorias) on levinud juhusliku suuruse x vaatlemine järgmiste piirkondade kaupa vasakule ja paremale matemaatilisest ootusest m: ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Vaatleme vastavaid lõike, mille keskel on matemaatiline ootus: 1) [ m − σ , m + σ], 2) [ m − 2σ , m + 2σ], 3) [ m − 3σ , m + 3σ]. Vastavaid lõike nimetame usaldusintervallideks. Küsime esmalt, millise tõenäosusega satub suurus X vahemikku [ − σ m + σ] m , ehk milline on selle lõigu usaldusnivoo? Usaldusnivoo mõiste defineerisime punktis 2.3. Vastuse annab valem (7.6), kui seal kasutada usaldusintervalli [ β ] β = m +σ : P( m −σ < X = erf (1/ 2) < m + σ ) = = 0,683. 1 2 α, otspunkidele väärtusi α = m −σ , ⎡ ⎛ σ ⎢erf ⎜ ⎣ ⎝σ 2 ⎞ ⎟ − ⎠ ⎛ -σ ⎞⎤ erf ⎜ ⎟ ⎝σ 2 ⎠ ⎥ ⎦ Seega, otsitav usaldusnivoo on väljendatav veafunktsiooni kaudu. Numbrilise väärtuse saamiseks tuleb leida tõenäosusfunktsiooni erf väärtus kohal 1 / 2 = 0, 707 vastavast tabelist või lasta see välja arvutada arvutil. Viimane on käesoleval ajal kõige levinum viis. Näiteks Mathcad sisaldab funktsiooni erf ( x ) . Tulemus on 0,683 ehk 68,3 %. S.t, kahel kolmandikul juhtudest satub normaalselt jaotunud juhuslik suurus vahemikku [ − σ m + σ] m , .
Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
Page 3 and 4: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
Page 5 and 6: 3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f
Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
Page 9 and 10: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
Page 11 and 12: 3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3
Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
Page 15: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
Page 65 and 66: 5.6. Halvima olukorra meetod 5.6. H
Page 67 and 68:
5.8. Mõõtmistulemuste graafiline
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Lisa 1. Studenti t-kordaja Studenti
show all

JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?