JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED

D
[ ]
3.5. Eksponentjaotuse keskväärtus ja dispersioon
2
2
2
2 2 a
a
2
+ ab + b ⎛ a + b ⎞ ( b − )
= m X − m =
− ⎜ ⎟ = .
3 ⎝ 2 ⎠ 12
Standardhälbele tuleb siit
1 b − a
b − a
σ = D =
≈ 0.577 .
3 2
2
Standardhälbe ulatus (s.o intervalli [ − σ m + σ]
m , ulatus) on näidatud joonisel 4.1
kahepoolse noolega. Standardhälbe väärtusest on ka näha, et kahekordsele standardhälbele
vastav intervall [ m − 2 σ,
m + 2σ]
sisaldaks eneses juba kogu juhusliku suuruse
muutumispiirkonna [ a, b]
. Teiste sõnadega, andes hajuvuspiirkonnana pluss-miinus kaks
standardhälvet keskväärtusest, saavutame, et juhuslik suurus satub sellesse piirkonda
tõenäosusega 1 (eeldusel, et jaotus ikka on ühtlane!).
3.5. Eksponentjaotuse keskväärtus ja dispersioon
Eksponentjaotus (vt punkt 2.6) on antud valemiga
f ( x)
⎧0,
⎨
⎩λ
e
=
− λ x
,
x < 0,
x ≥0.
Siin on otstarbekas arvutada esmalt suvaline algmoment ja seda kasutada keskväärtuse ja
dispersiooni leidmiseks. Me saame k-nda algmomendi jaoks vastavalt punkti 3.3 definitsioonile
µ
k
= m X
∞
∞
k
k −λx
[ ] = ∫ x λ e dx = λ∫
Rakendame integraali arvutamisel parameetri järgi diferentseerimise võtet:
0
0
x
k
e
−λx
dx
.
Kuna viimase integraali väärtus on
∞
∫
0
x
k
e
−λx
dx
⎛ d ⎞
⎜ − ⎟
⎝ dλ
⎠
k ∞
∫
= 0
e
−λx
dx
.
siis saame
µ
k
∫ ∞
0
⎛ d ⎞
= λ⎜
− ⎟
⎝ dλ
∫
⎠
e x dx = ,
λ
−λ
1
Võttes siin k = 0, 1 ja 2, saame kerge vaevaga
k ∞
k
−λx
⎛ d ⎞ 1
e dx = λ⎜
− ⎟
dλ
λ
0 ⎝ ⎠
.
13