JAOTUSFUNKTSIOONID MÕÕTEMÄÄRAMATUSED
II vihik - Tartu Ãlikool II vihik - Tartu Ãlikool
3.2. Dispersioon ja ruuthälve 3. Sõltumatute juhuslike suuruste summa dispersioon. Kui suurused X ja Y on sõltumatud juhuslikud suurused, siis [ X Y ] = D[ X ] D[ Y ] D + ± . Tõestuseks teisendame, kasutades keskväärtuse aditiivsuse omadust D 2 [ ) ] [ X ± Y ] = m ( X ± Y − m[ X ± Y ] o o = m ⎡ ( X ± Y ) ⎢⎣ 2 ⎤ ⎥⎦ = sest Erijuhul ⎡ m⎢X ⎣ o 2 o o ± 2 X Y + Y o 2 ⎤ ⎥ = D ⎦ o o o o ⎡ X Y ⎤ = m ⎡ X ⎤ ⋅ m ⎡ Y ⎤ = 0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ m . [ X c] D[ X ] D = + . [ X ] + D[ Y ], Standardhälve (ruutkeskmine hälve). Dispersiooni ruutjuurt σ = D (2.7) nimetatakse standardhälbeks, ruutkeskmiseks hälbeks ehk ruuthälbeks. σ Standardhälbe üldlevinud tähis on: Definitsioonidest on näha, et dispersiooni dimensioon on võrdne juhusliku suuruse dimensiooni (mõõtühiku) ruuduga, standardhälbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon. Seetõttu kasutatakse praktikas harilikult standardhälvet. Analoogiliselt dispersiooni omadustega saame kirjutada ka standardhälbe omadused. Siin märgime ainult ühe omaduse: σ ( cX ) = c σ( X ) . Teades juhusliku suuruse X keskväärtust m ja standardhälvet σ , saame ettekujutuse suuruse X võimalike väärtuste paiknemise piirkonnast. 10
3.3. Juhusliku suuruse momendid 3.3. Juhusliku suuruse momendid See on esmatutvus momentidega ja siin me anname vaid definitsioonid. Keskmistamine, keskmistusoperatsioon. Olgu meil antud suvaline (mittejuhuslik!) juhusliku suuruse funktsioon Φ (X ) . See tähendab seda, et kui juhuslik suurus omandab väärtuse X = x , siis Φ omandab väärtuse Φ (x) Astmefunktsioon Eksponentfunktsioon Koosiinusfunktsioon q X ; X e ; cos X ; . Juhusliku suuruse näitena olgu siinkohal nimetatud ………………………….. jne. Φ ei ole juhuslik funktsioon. See tähendab seda, et samale argumendi väärtusele X = x vastab alati üks ja seesama funktsiooniväärtus Φ (x). Samal ajal on tegu juhusliku suurusega selles mõttes, et argument on juhuslik suurus ja seetõttu on ka katsetel saadavad Φ väärtused lõppkokkuvõttes juhuslikud. Omab mõtet arvutada selle funktsiooni keskväärtus ehk matemaatiline ootus, mille defineerime diskreetse juhusliku suuruse korral valemiga [ Φ X )] = ∑ ja pideva juhusliku suuruse korral valemiga m ( p i Φ( x i ) ∞ [ X )] ∫ m ( = Φ( x) f ( x) dx Φ . −∞ Tähtsaimad juhusliku suuruse funktsioonid, mida kõige enam keskmistatult kasutatakse, on juhusliku suuruse astmed (astmefunktsioonid), mida nimetatakse momentideks. Eristatakse tsentreerimata ja tsentreeritud momente. i Juhusliku suuruse k-ndat järku tsentreerimata momendiks e algmomendiks nimetatakse juhusliku suuruse k-nda astme keskväärtust k k [ X ] µ = m . Juhusliku suuruse k-ndat järku tsentreeritud momendiks nimetatakse juhusliku suuruse tsentreeritud k-nda astme keskväärtust Eespool vaadeldud suurustest on : Jaotusfunktsiooni norm Keskväärtus Dispersioon 0 ⎡ 0 ⎤ k k µ k = m ⎢X ⎥ = m[ ( X − m[ X ]) ]. ⎢⎣ ⎥⎦ – nullindat järku algmoment – esimest järku algmoment – teist järku tsentreeritud moment 11
- Page 1 and 2: Tartu Ülikool Keskkonnafüüsika i
- Page 3 and 4: 3.1. Keskväärtus 3. JUHUSLIKU SUU
- Page 5 and 6: 3.1. Keskväärtus 1.5 f( x, 1.5) f
- Page 7 and 8: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Disp
- Page 9: 3.2. Dispersioon ja ruuthälve Näe
- Page 13 and 14: D [ ] 3.5. Eksponentjaotuse keskvä
- Page 15 and 16: 3.6. Normaaljaotuse keskväärtus j
- Page 17 and 18: ∞ ∫ −∞ 3.6. Normaaljaotuse
- Page 19 and 20: 3.7. Keskväärtuse hindamine mõõ
- Page 21 and 22: 3.8. Dispersiooni hindamine mõõtm
- Page 23 and 24: ning järeldusena Seega: 3.9. Ühet
- Page 25 and 26: 3.9. Ühetaoliselt jaotunud suurust
- Page 27 and 28: p 4.2. Kahemõõtmelised diskreetse
- Page 29 and 30: 4.3. Kahemõõtmeline pidev juhusli
- Page 31 and 32: kus (x) g ja (y) b c, d : lõikudel
- Page 33 and 34: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 4.5. Ko
- Page 35 and 36: 4.5. Kovariatsioonimaatriks 2 [ X ]
- Page 37 and 38: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 39 and 40: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 41 and 42: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 43 and 44: 5.1. Füüsikalised suurused ja nen
- Page 45 and 46: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 47 and 48: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 49 and 50: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 51 and 52: 5.2. Mõõtevead ja mõõtemääram
- Page 53 and 54: 5.3. Tähendnumbrite hulk määrama
- Page 55 and 56: 5.4. Mõõtevahendid ja nende lubat
- Page 57 and 58: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
- Page 59 and 60: 5.5. Mõõtmistulemuse mõõtemää
3.2. Dispersioon ja ruuthälve<br />
3. Sõltumatute juhuslike suuruste summa dispersioon.<br />
Kui suurused X ja Y on sõltumatud juhuslikud suurused, siis<br />
[ X Y ] = D[ X ] D[ Y ]<br />
D +<br />
± .<br />
Tõestuseks teisendame, kasutades keskväärtuse aditiivsuse omadust<br />
D<br />
2<br />
[ ) ]<br />
[ X ± Y ] = m ( X ± Y − m[ X ± Y ]<br />
o o<br />
= m<br />
⎡<br />
( X ± Y )<br />
⎢⎣<br />
2<br />
⎤<br />
⎥⎦<br />
=<br />
sest<br />
Erijuhul<br />
⎡<br />
m⎢X<br />
⎣<br />
o<br />
2<br />
o<br />
o<br />
± 2 X Y + Y<br />
o<br />
2<br />
⎤<br />
⎥ = D<br />
⎦<br />
o o<br />
o o<br />
⎡<br />
X Y<br />
⎤<br />
= m<br />
⎡<br />
X<br />
⎤<br />
⋅ m<br />
⎡<br />
Y<br />
⎤<br />
= 0<br />
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦<br />
m .<br />
[ X c] D[ X ]<br />
D =<br />
+ .<br />
[ X ] + D[ Y ],<br />
Standardhälve (ruutkeskmine hälve).<br />
Dispersiooni ruutjuurt<br />
σ = D<br />
(2.7)<br />
nimetatakse standardhälbeks, ruutkeskmiseks hälbeks ehk ruuthälbeks.<br />
σ<br />
Standardhälbe üldlevinud tähis on:<br />
Definitsioonidest on näha, et dispersiooni dimensioon on võrdne juhusliku suuruse dimensiooni<br />
(mõõtühiku) ruuduga, standardhälbe dimensiooniks on aga juhusliku suuruse dimensioon.<br />
Seetõttu kasutatakse praktikas harilikult standardhälvet.<br />
Analoogiliselt dispersiooni omadustega saame kirjutada ka standardhälbe omadused.<br />
Siin märgime ainult ühe omaduse:<br />
σ ( cX ) = c σ(<br />
X ) .<br />
Teades juhusliku suuruse X keskväärtust m ja standardhälvet σ , saame ettekujutuse suuruse<br />
X võimalike väärtuste paiknemise piirkonnast.<br />
10
Change language