KOMBINATORIKA

Kombinatorika
KOMBINATORIKA
Bez ponavljanja elemenata S ponavljanjem elemenata među
Redosljed Koristimo sve elenente
r −tog razreda, od n−elemenata kojima ima: r − jednakih, s-jednakih
n! n!
PERMUTACIJE važan Da P( n) = n!
Pr
( n) = Pr,
s
r! r! ⋅s!
Redosljed
Koristimo sve elenente
Bez ponavljanja elemenata S ponavljanjem elemenata
r −tog razreda, od n−elemenata r −tog razreda, od n−elemenata
( )
( n+ r − )
( )
n!
1!
KOMBINACIJE nije važan Ne 1≤ r ≤ n Kr
( n)
= Kr
( n)
=
n−r ! ⋅r! n−1 ! ⋅r!
VARIJACIJE
!
važan Ne 1 ≤ n
r ≤ n Vr
( n)
= Vr
( n)
n
!
=
( n−
r)
r
ZADATKE ODABRAO I RJEŠIO
MLADEN SRAGA
od 1992.g.-do-2004.g.
www.mim-sraga.com 1

Kombinatorika
KOMBINATORIKA MOJ IZBOR ZADATAKA
većina zadataka su originali sa prijašnjih rokova ( zadnjih 10 godina)
1.
2.
3.
4.
5.
Koliko ima troznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
Koliko ima četveroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
Koliko ima peteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
Koliko ima sedmeroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
6. Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva ?
7. Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva ?
505. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima troznamenkastih brojeva ?
⎛10⎞
1. 9000 2. 900 3. ⎜ 4. 10
3 ⎟
⎝ ⎠
3
510. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima parnih troznamenkastih brojeva ?
3 ⎛5⎞
1. 450 2. 900 3. 5 4. ⎜3⎟
⎝ ⎠
515. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva?
4 5
1. 9000 2. 4500 3. 5 4. 4
520. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima peteroznamenkastih brojeva?
1. 90000 2. 45000 3. 5 4. 10
10 5
525. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 5 ?
⎛5⎞
3 5
1. ⎜ 2. 648 3. 9 4. 3
3⎟
⎝ ⎠
530. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 6 ?
⎛6⎞
6 3
1. ⎜ 2. 3 3. 6 4. 648
3⎟
⎝ ⎠
2

Kombinatorika
370. zad.2002./ 03.g.
Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati pomoću
znamenaka 0,2,2,3,3 ?
⎛5⎞ 3
⎛5⎞ ⎛4⎞
1. ⎜ 2. 5 3. 24 4.
2⎟ ⎜ −
2⎟ ⎜2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
375. zad.2002./ 03.g.
Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati pomoću
znamenaka 0,1,1,2,3,3 ?
⎛6⎞
4 6
1. ⎜ 2. 150 3. 6 4. 4
3⎟
⎝ ⎠
380. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka
jedinice i desetice jednak 4?
⎛5
⎞
5 5 5
1. ⎜
⎝2⎟
2. 2 3. 10 − 9 4. 4500
⎠
385. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima parnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka
jedinica i desetica jednak 4 ?
4 5
1. 270 2. 450 3. 5 4. 4
390. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka
jedinica i desetica jednak 3 ?
4 2
1. 2 2. 360 3. 3 4. 180
396. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i
zadnja znamenka jednake ?
⎛5⎞
1. 1000 2. 225 3. ⎜ 4. 0
3⎟
⎝ ⎠
400. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima neparnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i
zadnja znamenka jednake ?
⎛5⎞
5 10
1. 1000 2. ⎜ 3. 10 4. 3
3⎟
⎝ ⎠
365. zad.2002./ 03.g.
Koliko se različitih željezničkih kompozicija može sastaviti od lokomotive,
3 jednaka putnička i 3 jedanka teretna vagona ?
3 6 ⎛6⎞
1. 6 2. 3 3. ⎜ 4. 3!
3⎟
⎝ ⎠
www.mim-sraga.com 3

Kombinatorika
14. zad.1998./99.g
Test se sastoji od 5 pitanja na koja se odgovara zaokruživanjem odgovora A,B ili C.
Na koliko načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja ?
1. 10 2. 120 3. 243 4. 125
34. zad.1998. /99.g
Koliko se različitih sedmeroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 0007789 ?
1. 240 2. 420 3. 5040 4. 384
54.
zad.1998./99.g
Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 00223 ?
1. 12 2. 18 3. 30 4. 120
74.
zad.1998./99.g
Test se sastoji od 6 pitanja na koja se odgovara zaokruživanjem odgovora A ili B.
Na koliko načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja ?
1. 15 2. 36 3. 64 4. 720
94.
zad.1998./99.g
Na koliko načina možemo 12 različitih igračaka razdjeliti na troje djece, svakom
po 4 igračke ?
1. 34650 2. 12! 3. 495 4. 1728
114.
zad.1998./99.g
Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 55400 ?
1. 30 2. 120 3. 18 4.
134.
zad.1998./99.g
Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 007899 ?
1. 240 2. 420 3. 5040 4. 384
154.
zad.1998./99.g
Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 004456 ?
4

Kombinatorika
Kompletna rješenja sa postupkom
1.
I način
Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti
n = 10
Slažemo troznamenkaste brojeve
r = 3
Ne koristimo sve elemente
Važan nam je redoslijed
Nesmijemo ponavljati brojeve
( znamenke moraju biti različite)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata
Broj traženih troznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA
trećeg razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija drugog razreda od devet elemenata
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
V
V
n
r
=
10 9
3 2
n!
( n−
r)
!
10! 9! 10! 9! 7! ⋅8⋅9⋅10 7! ⋅8⋅9
− V = − = − = −
10 3 ! 9 2 ! 7! 7! 7! 7!
( − ) ( − )
= 8⋅9⋅10 −8⋅ 9 = 720 − 72 = 648
II način
Na prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu tisučice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio troznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)
9 9 8 = 9⋅9⋅ 8 = 648
I II III-
mjesto
www.mim-sraga.com 5

Kombinatorika
2. Koliko ima četveroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
I način
Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti
n = 10
Slažemo četveroznamenkaste brojeve
r = 4
Ne koristimo sve elemente
Važan nam je redoslijed
Nesmijemo ponavljati brojeve
( znamenke moraju biti različite)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata
Broj traženih četveroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA
četvrtog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija trećeg razreda od devet elemenata
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
V
V
n
r
=
10 9
4 3
n!
( n−
r)
!
10! 9! 10! 9! 6! ⋅7⋅8⋅9⋅10 6! ⋅7⋅8⋅9
− V = − = − = − = 7⋅8⋅9⋅10 −7⋅8⋅ 9 = 5040 − 504 = 4536
10 4 ! 9 3 ! 6! 6! 6! 6!
( − ) ( − )
II način
Na prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio četveroznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možem o staviti jedan od preostalih 8 brojeva ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)
na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojeva
9 9 8 7 = 9⋅9⋅8⋅ 7 = 4536
I II III IV-
mjesto
6

Kombinatorika
3. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
I način
Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti
n = 10
Slažemo peteroznamenkaste brojeve
r = 5
Ne koristimo sve elemente
Važan nam je redoslijed
Nesmijemo ponavljati brojeve
( znamenke moraju biti različite)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata
Broj traženih peteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA
petog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija četvrtog razreda od devet elemenata
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
V
V
n
r
=
10 9
5 4
n!
( n−
r)
!
10! 9! 10! 9! 5! ⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 5! ⋅6⋅7⋅8⋅9
− V = − = − = − =
10 5 ! 9 4 ! 5! 5! 5! 5!
( − ) ( − )
= 6⋅7⋅8⋅9⋅10 −6⋅7⋅8⋅ 9 = 30240 − 3024 = 27216
II način
Na prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio peteroznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)
na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojeva
na peto mjesto možemo staviti jedan od preostalih 6 brojeva
9 9 8 7 6 = 9⋅9⋅8⋅7⋅ 6 = 27216
I II III IV V-
mjesto
www.mim-sraga.com 7

Kombinatorika
4. Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
I način
Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti
n = 10
Slažemo šesteroznamenkaste brojeve
r = 6
Ne koristimo sve elemente
Važan nam je redoslijed
Nesmijemo ponavljati brojeve
( znamenke moraju biti različite)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata
Broj traženih šesteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA
šestog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija petog razreda od devet elemenata
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
V
V
n
r
=
10 9
6 5
n!
( n−
r)
!
10! 9! 10! 9! 4!5678910 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4!56789 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− V = − = − = − =
10 6 ! 9 5 ! 4! 4! 4! 4!
( − ) ( − )
= 5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 −5⋅6⋅7⋅8⋅ 9 = 151200 − 15120 = 136080
II način
Na prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu stotisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio šesteroznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)
na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojeva
na peto mjesto možemo staviti jedan od preostalih 6 brojeva
na šestom mjest možemo staviti jedan od preostalih 5 brojeva
9 9 8 7 6 5 = 9⋅9⋅8⋅7⋅6⋅ 5 = 136080
I II III IV V VI-
mjesto
8

Kombinatorika
5. Koliko ima sedmeroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?
I način
Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti
n = 10
Slažemo sedmeroznamenkaste brojeve
r = 7
Ne koristimo sve elemente
Važan nam je redoslijed
Nesmijemo ponavljati brojeve
( znamenke moraju biti različite)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata
Broj traženih sedmeroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama jednak je
broju VARIJACIJA sedmog razreda od deset elemenata umanjenih
za broj varijacija šestog razreda od devet elemenata
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
V
V
n
r
=
10 9
7 6
n!
( n−
r)
!
10! 9! 10! 9! 3!45678910 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3!456789
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− V = − = − = − =
10 7 ! 9 6 ! 3! 3! 3! 3!
( − ) ( − )
= 4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 −4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅ 9 = 604800 − 60480 = 544320
II način
Na prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu stotisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio sedmeroznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)
na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojeva
na peto mjesto možemo staviti jedan od preostalih 6 brojeva
na šesto mjesto možemo staviti jedan od preostalih 5 brojeva
na sedmo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 4 brojeva
9 9 8 7 6 5 4 = 9⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅ 4 = 544320
I II III IV V VI VII-
mjesto
www.mim-sraga.com 9

Kombinatorika
6. Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva ?
Za drugo i treće mjesto možemo koristiti sve brojeve, za prvo nemožemo koristiti nulu...
za zadnje mjesto , mjesto jedinice možemo koristiti samo neparne brojeve ( 1,3,5,7,9 )
Na prvo mjesto možemo staviti 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio četveroznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na četvro mjesto možemo staviti brojeve ( 1,3,5,7,9 ) dakle pet brojeva
9 10 10 5 = 9⋅10⋅10⋅ 5 = 4500
I II III IV - mjesto
7. Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva ?
Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na četvrto mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na peto mjesto možemo staviti brojeve ( 0,2,4,6,8 ) dakle pet brojeva
( jer to tada ne bi bio peteroznamenkast i broj)
9 10 10 10 5 = 9⋅10⋅10⋅10⋅ 5 = 45000
I II III IV V-
mjesto
10

Kombinatorika
505.
zad.2001./02.g
Koliko ima troznamenkastih brojeva ?
⎛10⎞
1. 9000 2. 900 3. ⎜ 4. 10
3 ⎟
⎝ ⎠
Za svako mjesto možemo koristiti sve brojeve, osim za prvo gdje nemožemo koristiti nulu...
Na prvo mjesto možemo staviti 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu stotice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio troznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
3
9 10 10 = 9⋅10⋅ 10 = 900
I II III - mjesto
510. zad.2001./02.g
Koliko ima parnih troznamenkastih brojeva ?
3 ⎛5⎞
1. 450 2. 900 3. 5 4. ⎜3⎟
⎝ ⎠
Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu stotice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio troznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na treće mjesto možemo staviti ( 0,2,4,6,8 ) dakle pet brojeva -jer broj morabiti paran
9 10 5 = 9⋅10⋅ 5 = 450
I II III - mjesto
515. zad.2001./02.g
Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva?
4 5
1. 9000 2. 4500 3. 5 4. 4
Za drugo i treće mjesto možemo koristiti sve brojeve, za prvo nemožemo koristiti nulu...
za zadnje mjesto , mjesto jedinice možemo koristiti samo neparne brojeve ( 1,3,5,7,9 )
Na prvo mjesto možemo staviti 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio četveroznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na četvro mjesto možemo staviti brojeve ( 1,3,5,7,9 ) dakle pet brojeva
9 10 10 5 = 9⋅10⋅10⋅ 5 = 4500
I II III IV - mjesto
www.mim-sraga.com 11

Kombinatorika
520.
zad.2001./02.g
Koliko ima peteroznamenkastih brojeva?
1. 90000 2. 45000 3. 5 4. 10
10 5
Za svako mjesto možemo koristiti sve brojeve, osim za prvo gdje nemožemo koristiti nulu...
Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio troznamenkasti broj)
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na četvrto mjesto možemo staviti svih deset brojeva
na peto mjesto možemo staviti svih deset brojeva
9 10 10 10 10 = 9⋅10⋅10⋅10⋅ 10 = 90000
I II III IV V-
mjesto
525. zad.2001./02.g
Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 5 ?
⎛5⎞
3 5
1. ⎜ 2. 648 3. 9 4. 3
3⎟
⎝ ⎠
Na prvo mjesto možemo staviti 8 brojeva (1,2,3,4,6,7,8,9), nemože ( 0 i 5 )
na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio troznamenkasti broj)
niti broj pet jer zadano je da troznamenkasti broj nesmije sadržavati znamenku 5
na drugo mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 5
na trećem mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 5
8 9 9 = 8⋅9⋅ 9 = 648
I II III - mjesto
530. zad.2001./02.g
Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 6 ?
⎛6⎞
6 3
1. ⎜ 2. 3 3. 6 4. 648
3⎟
⎝ ⎠
Na prvo mjesto možemo staviti 8 brojeva (1,2,3,4,6,7,8,9), nemože ( 0 i 6 )
na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 ( jer to tada ne bi bio troznamenkasti broj)
niti broj pet jer zadano je da troznamenkasti broj nesmije sadržavati znamenku 6
na drugo mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 6
na trećem mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 6
8 9 9 = 8⋅9⋅ 9 = 648
I II III - mjesto
12

Kombinatorika
370.
zad.2001./ 02.g
Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati pomoću
znamenaka 0,2,2,3,3 ?
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛4⎞
3
1. 2. 5 3. 24 4.
⎜2⎟ ⎜ −
2⎟ ⎜2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Važan nam je redosljed,
koristimo sve elemente
među kojima imamo r i s istih
⎫
⎪ Zaključak: radi se o PERMUTACIJI s ponavljanjem elemenata
⎬
⎪skupa od n−
elemenata među kojima ima r jednakih i s jednakih
⎭
zadano: 0,2,2,3,3
n = 5
r = 2 isti su 2,2 = 2 isti su 3,3
( ) s ( )
Formula za: Broj permutacija skupa od n elemenata među kojima ima r jednakih i s jednakih
n!
Prs
, ( n)
=
r! ⋅s!
Broj traženih peteroznamenkastih brojeva ( N) jednak je broju permutacija od pet elemenata među
kojima ima r = 2 i s = 2 jednakih, umanjenih za broj permutacija od četri elementa među kojima
ima r = 2 i s = 2 jednakih
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
Dakle od ukupnog broja permutacija , moramo odbiti broj onih kojima je nula na prvom mjestu
jer to nisu peteroznamenkasti brojevi već četveroznamenkasti brojevi ( nula se na prvom mjestu ne računa)
( 5) ( 4)
N = Prs
,
−Prs
,
5! 4! 12345 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1234 ⋅ ⋅ ⋅
N = − = − = 325 ⋅ ⋅ −32 ⋅ = 30− 6=
24
2! ⋅2! 2! ⋅2! 1⋅212 ⋅⋅ 1212 ⋅ ⋅⋅
rješenje br.3.
www.mim-sraga.com 13

Kombinatorika
375.
zad.2002./ 03.g.
Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati pomoću
znamenaka 0,1,1,2,3,3 ?
⎛6⎞
4 6
1. ⎜ 2. 150 3. 6 4. 4
3⎟
⎝ ⎠
Važan nam je redosljed,
koristimo sve elemente
među kojima imamo r i s istih
⎫
⎪ Zaključak: radi se o PERMUTACIJI s ponavljanjem elemenata
⎬
⎪skupa od n−
elemenata među kojima ima r jednakih i s jednakih
⎭
zadano: 0,1,1,2,3,3
n = 6
r = 2 isti su 1,1 = 2 isti su 3,3
( ) s ( )
Formula za: Broj permutacija skupa od n elemenata među kojima ima r jednakih i s jednakih
n!
Prs
, ( n)
=
r! ⋅s!
Broj traženih šesteroznamenkastih brojeva ( N) jednak je broju permutacija od šest elemenata među
kojima ima r = 2 i s = 2 jednakih, umanjenih za broj permutacija od pet elementa među kojima
ima r = 2 i s = 2 jednakih
( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)
Dakle od ukupnog broja permutacija , moramo odbiti broj onih kojima je nula na prvom mjestu
jer to nisu peteroznamenkasti brojevi već četveroznamenkasti brojevi
( nula se na prvom mjestu ne računa)
( 6) ( 5)
N = Prs
,
−Prs
,
6! 5! 123456 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 12345 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
N = − = −
2! ⋅2! 2! ⋅2! 1⋅2⋅1⋅2
1212 ⋅ ⋅ ⋅
= 3256 ⋅ ⋅ ⋅ −325 ⋅ ⋅ = 180− 30=
150
14

Kombinatorika
380.
zad.2002./ 03.g.
Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka
jedinice i desetice jednak 4?
⎛5
⎞
5 5 5
1. 2. 2 3. 10 9 4. 4500
⎜2⎟
⎝ ⎠
−
Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0
peteroznamenkasti
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
na četvrto i ⎫
moramo staviti brojeve kojima je zbroj jednak 4
na peto mjesto
⎬
⎭
a to su brojevi 2,2 , 1,3 , 3,1 , 0,4 , 4,0
( jer to tada ne bi bio broj)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
znamenke jedinice i desetice možemo napisati na 5-načina da njihov zbroj bude = 4
9 10 10 5 − načina = 9⋅10⋅10⋅ 5 = 4500
I II III IV i V-
mjesto
385. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima parnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka
jedinica i desetica jednak 4 ?
4 5
1. 270 2. 450 3. 5 4. 4
Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
( jer to tada ne bi bio četveroznamenkasti broj)
na treće i ⎫ moramo staviti brojeve kojima je zbroj jednak 4,
na četvrto mjesto
⎬
⎭ i na mjestu jedinice mora biti paran broj
a to su brojevi 2,2 , 0,4 , 4,0
( ) ( ) ( )
znamenke jedinice i desetice možemo napisati na 3-načina da njihov zbroj bude = 4
9 10 3 − načina = 9⋅10⋅ 3 = 270
I II III i IV-
mjesto
www.mim-sraga.com 15

Kombinatorika
390. zad.2002./ 03.g.
Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka
jedinica i desetica jednak 3 ?
4 2
1. 2 2. 360 3. 3 4. 180
Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),
na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0
na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),
na treće i
na četvrto mjesto
⎫
⎬
⎭
moramo staviti brojeve kojima je zbroj jednak 3,
i na mjestu jedinice mora biti neparan broj
( ) i ( )
a to su brojevi 2,1 0,3
( jer to tada ne bi bio četveroznamenkasti broj)
znamenke jedinice i desetice možemo napisati na 2-načina da njihov zbroj bude = 3
9 10 2 − načina = 9⋅10⋅ 2 = 180
I II III i IV-
mjesto
396.
zad.2002./ 03.g.
Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i
zadnja znamenka jednake ?
⎛5⎞
1. 1000 2. 225 3. ⎜3⎟
4. 0
⎝ ⎠
Da bi broj bio djeljiv sa 5 mora mu zadnja znamenka biti 0 ili 5, kako je još zadano da taj broj
mora biti paran broj zadnja znamenka jedino može biti 0. To dalje povlaći za sobom da i prva
znamenka mora biti nula ( jer prva i zadnja znamenka moraju biti jednake).
Ako je nula na prvom mjestu to nije peteroznamenkasti broj već četveroznamenkasti pa
zaključimo da ne postoji takav broj ili da ih ima nula- odgovor pod br.4.
400.
zad.2002./ 03.g.
Koliko ima neparnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i
zadnja znamenka jednake ?
⎛5⎞
5 10
1. 1000 2. ⎜ 3. 10 4. 3
3⎟
⎝ ⎠
Da bi broj bio djeljiv sa 5 mora mu zadnja znamenka biti 0 ili 5, kako je još zadano da taj broj
mora biti neparan broj zadnja znamenka jedino može biti 5. To dalje povlaći za sobom da i prva
znamenka mora biti pet ( jer prva i zadnja znamenka moraju biti jednake).
Pa imamo ovakav događaj: 5 5 prva i zadnja znamenka moraju biti 5, dakle jedina
mogučnost na drugo, treće i četvrto mjesto možemo staviti bilo koj broj od 0-do-9
1 10 10 10 1 = 1⋅10⋅10⋅10⋅ 1 = 1000
I II III IV V - mjesto
16
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Kombinatorika
365.
zad.2002./ 03.g.
Koliko se različitih željezničkih kompozicija može sastaviti od lokomotive,
3 jednaka putnička i 3 jedanka teretna vagona ?
⎛6⎞
3 6
1. 6 2. 3 3. 4. 3!
⎜3⎟
⎝ ⎠
Pretpostavimo da bi lokomotiva uvjek trebala biti prva
nju fiksiramo na prvo mjesto
↓
lokomotiva 3 3
↓ ↓
3 − putnička 3-teretna
↓
njih preslagujemo
n = 6
r = 3
s = 3
Koristimo sve elemente, važan je redosljed , iz toga zakljućujemo
da se radi o permutaciji sa ponavljanjem elemenata među kojima ima
r = 3 i s = 3 istih
P
rs ,
P
P
3,3
3,3
( n)
( 6)
( 6)
=
=
=
n!
r! ⋅s!
6!
3! ⋅3!
3!456 ⋅ ⋅ ⋅
3! ⋅⋅ 1 2⋅3
P
3,3
( )
6 = 4⋅5
P
3,3
( )
6 = 20
Pogledajmo ponuđene odgovore pod: 3.
Dakle rješenje je odgovor broj 3.
⎛6⎞ 6! 6!
⎜3⎟
= = =
⎝ ⎠ 6−3!3! ⋅ 3!3! ⋅
( )
3! ⋅4⋅5⋅6
3! ⋅⋅ 1 2⋅3
= 45 ⋅ = 20
www.mim-sraga.com 17

Kombinatorika
14. zad.1998./99.g
Test se sastoji od 5 pitanja na koja se odgovara zaokruživanjem odgovora A,B ili C.
Na koliko načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja ?
1. 10 2. 120 3. 243 4. 125
Zadatak rješimo na dva načina:
I način
Na prvo pitanje možemo odgovoriti na tri načina
Na drugo pitanje možemo odgovoriti na tri načina
Na treće pitanje možemo odgovoriti na tri načina
Na četvrto pitanje možemo odgovoriti na tri načina
Napeto pitanje možemo odgovoriti na tri načina
5
Dakle: 33333 3 243
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
II način
Zadatak rješimo primjenom formula:
Za svaki zadatak koristimo tri odgovora ⇒ n = 3
Imamo pet zadataka dakle razred je 5 ⇒ r = 5
Radi se o VARIJACIJI sa ponavljanjem elemenata
r
5
( )
( )
( )
V n = n
V
3 = 3
r
5
V5 3 = 243 ⇒ na 243 načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja.
18

Kombinatorika
34.
zad.1998./99.g
Koliko se različitih sedmeroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 0007789 ?
1. 240 2. 420 3. 5040 4. 384
00077898 ⇒ n = 7 koristimo 7 elemenata
( )
( )
r = 3 − nule ima ih tri
s = 2 − sedmice ima ih dvije
Ovdje koristimo sve elemente među kojima je r i s istih elemenata
dakle radi se o permutaciji s ponavljanjem elemenata
P
rs ,
P
3,2
( n)
7! 3! ⋅4⋅5⋅6⋅7
7 = = = 2⋅5⋅6⋅ 7 = 420
3! ⋅2! 3! ⋅1⋅2
( )
n!
=
r! ⋅s!
( )
Sada smo izračunali broj svih permutacija 420 - u tom broju sadržane su i permutacije
kada je nula na prvom mjestu ...
Brojevi koji počinju sa nulom na prvom mjestu nisu sedmeroznamenkasti brojevi ....
treba izračunati koliko ima takvih brojeva i oduzeti ih od 420 i to je stvarni broj
sedmeroznamenkastih brojeva koje može napisati znamenkama 0007789.
ove znamenke mjenjamo tj. permutiramo n = 6
↑
0
↓
nulu fiksiramo na prvo mjesto
n = 6
r = 2
s = 2
P
P
2,2
2,2
6! 2!3456 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
6 = = = 3256 ⋅ ⋅ ⋅ = 180
2! ⋅2! 2! ⋅1⋅2
( )
( )
6 = 180
N = broj sedmeroznamenkastih brojeva koje može napisati znamenkama 0007789.
( ) ( )
N = P 7 − P 6 = 420 − 180 = 240
3,2 2,2
www.mim-sraga.com 19

Kombinatorika
20

www.mim-sraga.com 21
Kombinatorika

Kombinatorika
22

www.mim-sraga.com 23
Kombinatorika

Kombinatorika
24

www.mim-sraga.com 25
Kombinatorika