Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
(a) Primero, queremos calcular la probabilidad P(+− =⇒ −+) sin aproximaciones. Para ellos, introducimoslos términos del hamiltoniano en un operador explícitamente dependiente del tiempo. Podemosresolver para u(t, −∞):∂u(t, −∞)i = Hu(t, −∞) =⇒ u(t, −∞) = exp(− i ∫ t)S∂t ⃗ 1 · ⃗S 2 a(t ′ )dt ′−∞Luego, tenemos:Consideremos:Luego, tenemos:|ψ(t)〉 = e − i (609)∫ t−∞ a(t′ )dt ′ ⃗ S1·⃗S 2| + −〉 (610)⃗S = ⃗ S 1 + ⃗ S 2 (611)⃗S 1 · ⃗S 2 = 1 2 (⃗ S 2 − ⃗ S 2 1 − ⃗ S 22) (612)Entonces, nuestra expresión para la función de onda es:|ψ(t)〉 = e − i ∫ t −∞ a(t′ )dt ′ 1 2 (⃗ S 2 −S ⃗2 1 −⃗ S 2 2 ) (613)Ahora, ¿Qué obtenemos con la aplicación de los operadores?⃗S 2 1| + −〉 = ⃗ S 2 2| + −〉 = 3 4 2 | + −〉 (614)⃗S 2 | + −〉 (615)Necesitamos mirar en la base |s m s 〉:|1 0〉 = 1 √2[| + −〉 + | − +〉] (616)|0 0〉 = 1 √2[| + −〉 − | − +〉] (617)Ojo que necesitamos esto porque:⃗S 2 |s m〉 = 2 s(s + 1)|s m〉 (618)Entonces, se deduce:| + −〉 = 1 √2[|10〉 + |00〉] (619)Recordando (sin aplicar esto que acabamos de obtener sino que simplemente aplicando los operadores1 y 2) obtenemos para la función de onda:|ψ(t)〉 = e − i Ahora, ¿qué obtendríamos aplicando la exponencial de ⃗ S 2 ?∫ t−∞ a(t′ )dt ′ 1 2 (⃗ S 2 − 3 2 2) | + −〉 (620)91
e ⃗ S 2 | + −〉 = e ⃗ S 2 1 √2[|10〉 + |00〉] = 1 √2[e 22 |10〉 + |00〉] (621)Luego, la función de onda queda simplemente como:|ψ(t)〉 = [e − i ∫ t−∞ a(t′ )dt ′ 24 |10〉 + e− i ∫ t −∞ a(t′ )dt ′ 2 (− 3 4 ) |00〉] √ 1(622)2= e − i 4∫ t−∞ a(t′ )dt ′ ( 1 ∫3i t| + −〉 + | − +〉) + e4 −∞ a(t′ )dt ′ ( 1 (| + −〉 − | − +〉)) (623)2 2Entonces, finalmente, la probabilidad pedida, en un tiempo t = ∞ está dada por:P(+− =⇒ −+)en t = ∞ = 1 ∣∣e − i ∫ +∞4 −∞ a(t′ )dt ′ − e 3i ∫ +∞4 −∞ a(t′ )dt ′∣ 2∣ 4= 1 ∣∣e i ∫ ∞4 −∞ a(t′ )dt ′∣ 2 ∣∣ ∣∣e − i ∫ ∞2 −∞ a(t′ )dt ′ − e i ∫ ∞2 −∞ a(t′ )dt ′∣ 2∣ 4La respuesta final está dada por:P(+− =⇒ −+) = sin 2 ( 2∫ ∞−∞a(t ′ )dt ′ )(624)(625)(626)(b) Ahora, nos piden que trabajemos con teoría de perturbaciones dependiente del tiempo a primerorden, esto es:∫ P(+− =⇒ −+) =1 ∞∣ ∣∣∣2∣ W fi e iω fit ′ (627)−∞donde ω fi = 0 (asumiendo H = H 0 + a(t) ⃗ S 1 · ⃗S 2 , H 0 = 0)Luego, calculamos el producto interno:W fi = 〈− + |a(t) S ⃗ 1 · ⃗S 2 | + −〉 (628)= 〈− + | a(t)2 (⃗ S 2 − S ⃗ 1 2 − S ⃗ 2)| 2 + −〉 (629)= 〈− + | a(t)2 2 ( ⃗ S 2 / 2 )| + −〉 + 〈− + | a(t)2 | − 3 2 2 | + −〉 (630)Nótese que este segundo producto se anula por ortogonalidad. Tenemos:W fi = a(t)22 √ 2 〈− + |⃗ S 2 / 2 |(|00〉 + |10〉) (631)= a(t)22 √ 2〈− + |10〉 (632)2= a(t)2292(633)
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e ⃗ S 2 | + −〉 = e ⃗ S 2 1 √2[|10〉 + |00〉] = 1 √2[e 22 |10〉 + |00〉] (621)Luego, la función de onda queda simplemente como:|ψ(t)〉 = [e − i ∫ t−∞ a(t′ )dt ′ 24 |10〉 + e− i ∫ t −∞ a(t′ )dt ′ 2 (− 3 4 ) |00〉] √ 1(622)2= e − i 4∫ t−∞ a(t′ )dt ′ ( 1 ∫3i t| + −〉 + | − +〉) + e4 −∞ a(t′ )dt ′ ( 1 (| + −〉 − | − +〉)) (623)2 2Entonces, finalmente, la probabilidad pedida, en un tiempo t = ∞ está dada por:P(+− =⇒ −+)en t = ∞ = 1 ∣∣e − i ∫ +∞4 −∞ a(t′ )dt ′ − e 3i ∫ +∞4 −∞ a(t′ )dt ′∣ 2∣ 4= 1 ∣∣e i ∫ ∞4 −∞ a(t′ )dt ′∣ 2 ∣∣ ∣∣e − i ∫ ∞2 −∞ a(t′ )dt ′ − e i ∫ ∞2 −∞ a(t′ )dt ′∣ 2∣ 4La respuesta final está dada por:P(+− =⇒ −+) = sin 2 ( 2∫ ∞−∞a(t ′ )dt ′ )(624)(625)(626)(b) Ahora, nos piden que trabajemos <strong>con</strong> teoría de perturbaciones dependiente del tiempo a primerorden, esto es:∫ P(+− =⇒ −+) =1 ∞∣ ∣∣∣2∣ W fi e iω fit ′ (627)−∞donde ω fi = 0 (asumiendo H = H 0 + a(t) ⃗ S 1 · ⃗S 2 , H 0 = 0)Luego, calculamos el producto interno:W fi = 〈− + |a(t) S ⃗ 1 · ⃗S 2 | + −〉 (628)= 〈− + | a(t)2 (⃗ S 2 − S ⃗ 1 2 − S ⃗ 2)| 2 + −〉 (629)= 〈− + | a(t)2 2 ( ⃗ S 2 / 2 )| + −〉 + 〈− + | a(t)2 | − 3 2 2 | + −〉 (630)Nótese que este segundo producto se anula por ortogonalidad. Tenemos:W fi = a(t)22 √ 2 〈− + |⃗ S 2 / 2 |(|00〉 + |10〉) (631)= a(t)22 √ 2〈− + |10〉 (632)2= a(t)2292(633)
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