Libro con resumenes y ejercicios resueltos

(a) Primero, queremos calcular la probabilidad P(+− =⇒ −+) sin aproximaciones. Para ellos, introducimoslos términos del hamiltoniano en un operador explícitamente dependiente del tiempo. Podemosresolver para u(t, −∞):∂u(t, −∞)i = Hu(t, −∞) =⇒ u(t, −∞) = exp(− i ∫ t)S∂t ⃗ 1 · ⃗S 2 a(t ′ )dt ′−∞Luego, tenemos:Consideremos:Luego, tenemos:|ψ(t)〉 = e − i (609)∫ t−∞ a(t′ )dt ′ ⃗ S1·⃗S 2| + −〉 (610)⃗S = ⃗ S 1 + ⃗ S 2 (611)⃗S 1 · ⃗S 2 = 1 2 (⃗ S 2 − ⃗ S 2 1 − ⃗ S 22) (612)Entonces, nuestra expresión para la función de onda es:|ψ(t)〉 = e − i ∫ t −∞ a(t′ )dt ′ 1 2 (⃗ S 2 −S ⃗2 1 −⃗ S 2 2 ) (613)Ahora, ¿Qué obtenemos con la aplicación de los operadores?⃗S 2 1| + −〉 = ⃗ S 2 2| + −〉 = 3 4 2 | + −〉 (614)⃗S 2 | + −〉 (615)Necesitamos mirar en la base |s m s 〉:|1 0〉 = 1 √2[| + −〉 + | − +〉] (616)|0 0〉 = 1 √2[| + −〉 − | − +〉] (617)Ojo que necesitamos esto porque:⃗S 2 |s m〉 = 2 s(s + 1)|s m〉 (618)Entonces, se deduce:| + −〉 = 1 √2[|10〉 + |00〉] (619)Recordando (sin aplicar esto que acabamos de obtener sino que simplemente aplicando los operadores1 y 2) obtenemos para la función de onda:|ψ(t)〉 = e − i Ahora, ¿qué obtendríamos aplicando la exponencial de ⃗ S 2 ?∫ t−∞ a(t′ )dt ′ 1 2 (⃗ S 2 − 3 2 2) | + −〉 (620)91