Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
Problema 1: Tenemos que el Hamiltoniano es:SolucionesH = H 0 + W (587)tenemos el potencial:V = 0 0 ≤ x ≤ a (588)V = ∞ en cualquier otro punto (589)Las autofunciones de H 0 son:φ k (x) =√ ( )2 kπxa sin a(590)donde estas autofunciones tienen autovaloresE k = k2 π 2 22ma 2 (591)Asumamos que el campo eléctrico apunta en la dirección x. La energía potencial de una partícula en estecampo es −eEx, con el cero del potencial en x = 0. Tenemos entonces:W = −eEx (592)De modo que la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo a primer orden nos lleva a:P lk = 1 ∣∫ ∣∣∣ t∣ 2 e i(E l−E k )t ∣∣∣2′ / 〈l|W (t ′ )|k〉dt ′0(593)Entonces, debemos calcular el producto interno, dado por:∫ a〈l|W (t ′ )|k〉 = − φ l (x)eExφ k (x)dx (594)0( ∫ 2 a( ) ( )lπx kπx= −eE xsin sin dx (595)a)0 a a( ∫ 2 a= −eE xa) 1 {cos(k + l) πx}− cos(k − l)πx dx (596)0 2a a= eE ∫ a( ) (k + l)πxxcosdx − eE ∫ a( ) (k + l)πxxcosdx (597)aaaaHaciendo cambio de variables, tenemos:00〈l|W (t ′ )|k〉 = eE aa 2 ∫ (k+l)π(k + l) 2 π 20xcosxdx − eE aa 2 ∫ (k−l)π(k − l) 2 π 20xcosxdx (598)89
Luego, recordemos como se resuelve esta integral:∫xcosxdx = cosx + xsinx (599)Luego, este producto se resuelve:〈l|W (t ′ )|k〉 = eEa ( )cos(k + l)π − 1 cos(k − l)π − 1π 2 (k + l) 2 −(k − l) 2(600)Ojo! Tenemos que hacer una distinción:Si (k + l) es par:Si (k + 1) es impar:Entonces, el prudcto interno queda como:cos(k + l)π = cos(k − l)π = 1 =⇒ 〈l|W (t ′ )|k〉 = 0 (601)cos(k + l)π = cos(k − l)π = −1 (602)〈l|W (t ′ )|k〉 = eEa ( (k − l) 2π 2 (−2) − (k + l) 2 )(k + l) 2 (k − l) 2 = 8eEaklπ 2 (k 2 − l 2 ) 2 = W lk (603)Entonces, la probabilidad de transición será:Notese que:P kl (k + l = impar) = 1 2 W kl2 ∣∫ t0e i(E l−E k )t ′ / dt ′ ∣ ∣∣∣20 (604)= 1 2 W kl2 4 2 E(E l − E k ) 2 sin2 l − E kt (605)2( )= Wkl2 11 E l − E k(E l − E k ) 2 4sin2 t(606)2 Con esto, tenemos:E l − E k = (l 2 − k 2 ) π2 22ma 2 (607)W 2lk(E l − E k ) 2 = 256k2 l 2 E 2 a 6 e 2 m 2π 8 2 (k 2 − l 2 ) 6 (608)Problema 2:90
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Luego, recordemos como se resuelve esta integral:∫xcosxdx = cosx + xsinx (599)Luego, este producto se resuelve:〈l|W (t ′ )|k〉 = eEa ( )cos(k + l)π − 1 cos(k − l)π − 1π 2 (k + l) 2 −(k − l) 2(600)Ojo! Tenemos que hacer una distinción:Si (k + l) es par:Si (k + 1) es impar:Entonces, el prudcto interno queda como:cos(k + l)π = cos(k − l)π = 1 =⇒ 〈l|W (t ′ )|k〉 = 0 (601)cos(k + l)π = cos(k − l)π = −1 (602)〈l|W (t ′ )|k〉 = eEa ( (k − l) 2π 2 (−2) − (k + l) 2 )(k + l) 2 (k − l) 2 = 8eEaklπ 2 (k 2 − l 2 ) 2 = W lk (603)Entonces, la probabilidad de transición será:Notese que:P kl (k + l = impar) = 1 2 W kl2 ∣∫ t0e i(E l−E k )t ′ / dt ′ ∣ ∣∣∣20 (604)= 1 2 W kl2 4 2 E(E l − E k ) 2 sin2 l − E kt (605)2( )= Wkl2 11 E l − E k(E l − E k ) 2 4sin2 t(606)2 Con esto, tenemos:E l − E k = (l 2 − k 2 ) π2 22ma 2 (607)W 2lk(E l − E k ) 2 = 256k2 l 2 E 2 a 6 e 2 m 2π 8 2 (k 2 − l 2 ) 6 (608)Problema 2:90
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