Libro con resumenes y ejercicios resueltos

Problema 1: Tenemos que el Hamiltoniano es:SolucionesH = H 0 + W (587)tenemos el potencial:V = 0 0 ≤ x ≤ a (588)V = ∞ en cualquier otro punto (589)Las autofunciones de H 0 son:φ k (x) =√ ( )2 kπxa sin a(590)donde estas autofunciones tienen autovaloresE k = k2 π 2 22ma 2 (591)Asumamos que el campo eléctrico apunta en la dirección x. La energía potencial de una partícula en estecampo es −eEx, con el cero del potencial en x = 0. Tenemos entonces:W = −eEx (592)De modo que la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo a primer orden nos lleva a:P lk = 1 ∣∫ ∣∣∣ t∣ 2 e i(E l−E k )t ∣∣∣2′ / 〈l|W (t ′ )|k〉dt ′0(593)Entonces, debemos calcular el producto interno, dado por:∫ a〈l|W (t ′ )|k〉 = − φ l (x)eExφ k (x)dx (594)0( ∫ 2 a( ) ( )lπx kπx= −eE xsin sin dx (595)a)0 a a( ∫ 2 a= −eE xa) 1 {cos(k + l) πx}− cos(k − l)πx dx (596)0 2a a= eE ∫ a( ) (k + l)πxxcosdx − eE ∫ a( ) (k + l)πxxcosdx (597)aaaaHaciendo cambio de variables, tenemos:00〈l|W (t ′ )|k〉 = eE aa 2 ∫ (k+l)π(k + l) 2 π 20xcosxdx − eE aa 2 ∫ (k−l)π(k − l) 2 π 20xcosxdx (598)89