Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
ahora, se cumple (meramente es una multiplicación de matrices), que:Ahora, buscando las expresiones que nos conviene despejar:⃗σ 2 = ⃗σ 2 x + ⃗σ 2 y + ⃗σ 2 z = 3 · 1 2x2 (496)⃗S 2 =( 12 ⃗σ ) 2= 1 4 2 ⃗σ 2 = 3 4 2 1 2x2 (497)⃗I 2 =( 12 ⃗σ ) 2= 1 4 2 ⃗σ 2 = 3 4 2 1 2x2 (498)Entonces, ahora si hemos calculado algunos elementos para despejar la identidad descrita anteriormentepara ⃗ S · ⃗I en (XXXXX):(499)⃗S · ⃗I = 1 ( [ 3⃗F 2 −2 4 2 1 2x2 + 3 ])4 2 1 2x2⃗S · ⃗I = 1 (F ⃗ 2 − 3 )2 2 2 1 2x2(500)(501)Continuamos trabajando en el Hamiltoniano, que hasta acá nos queda:H eff = − 8π 3(502)(− eg ) ( ( {e egp 1 F ⃗2m e c 2m p c) 2 − 3 })2 2 2 1 2x2 δ 3 (⃗r) (503)Consideraremos el estado fundamental del átomo de hidrógeno 1s(n = 1, l = 0, m = 0) pero incluyendo laparte del spin:ψ 100 (⃗r) = 1 √πa30e −r/a0 χ spin (504)Aquí, es necesario tener en consideración, que los spines del electrón y el protón presentarán un acoplamiento.¿Por qué se genera esto? Básicamente porque estamos haciendo el producto de dos espacios, que generalun nuevo espacio. Los espacios involucrados en este producto, son los espacios de spin de ambas partículas(el electrón y el protón). Matemáticamente esto es:|S, S z ; I, I z 〉 = |S, S z 〉 ⊗ |I, I z 〉Para continuar con el desarrollo, necesitamos los autoestados de los 4 operadores ya mencionados, queson:|1/2, 1/2; 1/2, 1/2〉|1/2, 1/2; 1/2, −1/2〉|1/2, −1/2; 1/2, 1/2〉|1/2, −1/2; 1/2, −1/2〉77
Con esto, lo que se tiene según lo dicho anteriormente, es:⃗S 2 |1/2S z ; 1/2I z 〉 = 3 4 2 |1/2S z ; 1/2I z 〉⃗I 2 |1/2S z ; 1/2I z 〉 = 3 4 2 |1/2S z ; 1/2I z 〉Ŝ z |1/2S z ; 1/2I z 〉 = S z |1/2S z ; 1/2I z 〉Î z |1/2S z ; 1/2I z 〉 = I z |1/2S z ; 1/2I z 〉Considerando S z = I z = {− 1 2 , 1 2 } y S = I = 1 2 .Cuando definimos el spin total del sistema, tenemos ⃗ F = ⃗ S + ⃗ I y considerando que los operadores⃗F 2 , ⃗ F z , ⃗ S 2 , ⃗ I 2 conmutan entre si, podemos cambiar la base a una nueva base tomando:Los vectores de la nueva base, cumplen:|F, F z ; S, I〉 = |F, F z 〉 (505)⃗S 2 |F, F z 〉 = 3 4 2 |F, F z 〉⃗I 2 |F, F z 〉 = 3 4 2 |F, F z 〉⃗F 2 |F, F z 〉 = F (F + 1) 2 |F, F z 〉ˆF z |F, F z 〉 = F z |F, F z 〉Además se cumple que:En nuestro caso:−F ≤ F z ≤ F|I − S| ≤ F ≤ I + SI = S = 1 2Entonces, en la interacción electrón protón, F puede ser 0 y 1. Considerando esto tenemos:Con esto, lo que se tiene es:Singlete del atomo F = 0 → F z = 0T riplete del atomo F = 1 → F z = −1, 0, 178
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ahora, se cumple (meramente es una multiplicación de matrices), que:Ahora, buscando las expresiones que nos <strong>con</strong>viene despejar:⃗σ 2 = ⃗σ 2 x + ⃗σ 2 y + ⃗σ 2 z = 3 · 1 2x2 (496)⃗S 2 =( 12 ⃗σ ) 2= 1 4 2 ⃗σ 2 = 3 4 2 1 2x2 (497)⃗I 2 =( 12 ⃗σ ) 2= 1 4 2 ⃗σ 2 = 3 4 2 1 2x2 (498)Entonces, ahora si hemos calculado algunos elementos para despejar la identidad descrita anteriormentepara ⃗ S · ⃗I en (XXXXX):(499)⃗S · ⃗I = 1 ( [ 3⃗F 2 −2 4 2 1 2x2 + 3 ])4 2 1 2x2⃗S · ⃗I = 1 (F ⃗ 2 − 3 )2 2 2 1 2x2(500)(501)Continuamos trabajando en el Hamiltoniano, que hasta acá nos queda:H eff = − 8π 3(502)(− eg ) ( ( {e egp 1 F ⃗2m e c 2m p c) 2 − 3 })2 2 2 1 2x2 δ 3 (⃗r) (503)Consideraremos el estado fundamental del átomo de hidrógeno 1s(n = 1, l = 0, m = 0) pero incluyendo laparte del spin:ψ 100 (⃗r) = 1 √πa30e −r/a0 χ spin (504)Aquí, es necesario tener en <strong>con</strong>sideración, que los spines del electrón y el protón presentarán un acoplamiento.¿Por qué se genera esto? Básicamente porque estamos haciendo el producto de dos espacios, que generalun nuevo espacio. Los espacios involucrados en este producto, son los espacios de spin de ambas partículas(el electrón y el protón). Matemáticamente esto es:|S, S z ; I, I z 〉 = |S, S z 〉 ⊗ |I, I z 〉Para <strong>con</strong>tinuar <strong>con</strong> el desarrollo, necesitamos los autoestados de los 4 operadores ya mencionados, queson:|1/2, 1/2; 1/2, 1/2〉|1/2, 1/2; 1/2, −1/2〉|1/2, −1/2; 1/2, 1/2〉|1/2, −1/2; 1/2, −1/2〉77
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