Libro con resumenes y ejercicios resueltos

|nljm〉 = ∑ σC(l1/2j; m − σ, σ, m)|nlm − σσ〉. (458)La ventaja de utilizar una base asociada a ⃗ L 2 . ⃗ S 2 , ⃗ J 2 , J z es que estos operadores conmutan con H 1 y sumatriz de representación será diagonal; Este no es el caso si utilizamos la base asociada a ⃗ L 2 , L z , S 2 , S z ,dado que H LS no conmuta con L z , S z . Tomando esto en cuenta y estudiando el efecto de H 1 en el espectrode H 0 a primer orden en teoría de perturbaciones, es suficiente para calcular 〈nljm|H 1 |nljm〉. Dado que⃗J = ⃗ L + ⃗ S, tenemos:y entonces, si l > 0:〈njlm|H LS |nljm〉 = Ze2 2⃗S · ⃗L = 1 2 [ ⃗ J 2 − ⃗ L 2 − ⃗ S 2 ] (459)4µ 2 c 2 [j(j + 1) − l(l + 1) − 3 4]〈nljm|r −3 |nljm〉 (460)En el calculo de los elementos de matriz de r −3 , el spin no afecta, y utilizando lo siguiente:〈r −3 〉 nl =〈r −2 〉 nl =1l(l + 1/2)(l + 1)n 3 a−3 , l ≥ 11(l + 1/2)n 3 a−2〈r −1 〉 nl = 1 n 2 a−1obtenemos〈nljm|H LS |nljm〉 = Ze2 2 1[j(j4µ 2 c 2 l(l + 1/2)(l + 1)n 3 a 3 + 1) − l(l + 1) − 3 ]4(461)donde a = /[µ(Zαc)]. Dado que las energías sin perturbar se pueden escribir como:E nl = −µ(Zαc) 2 /2n 2El resultado obtenido, puede ser escrito también como:〈nljm|H LS |nljm〉 = −E nl(Zα) 2⎧⎪⎨n(2l + 1) ⎪⎩ll + 1− 1 lj = l + 1 2j = l − 1 2⎫⎪⎬⎪⎭Donde l > 0. Para valores l = 0, el valor promedio de H LS se anula debido al factor S ⃗ · ⃗L. Ahoracalcularemos la contribución de H K . Recordemos que tenemos:( )p22µ − Ze2 |nljm〉 = E nl |nljm〉 (462)r71