Libro con resumenes y ejercicios resueltos

Volviendo a nuestro elemento de matriz obtenemos:〈ψ f |V |ψ i 〉 =Finalmente, llevando nuestro cálculo a la tasa, obtenemos:e|E 0 |(2a 0 ) 3/2 π 2 32πia 5 0(1 + a 2 0 k2 ) 3 ˆn · ˆk (445)dΓ =Problema 2 - Átomo de Hidrógeno:e 2 E02 32 2 a 100 mk 3(2a 0 ) 3 π 2 (1 + a 2 0 k2 ) 6 4π 2 3 dΩ= (32eE 0a 2 0) 2 (ka 0 ) 3 m32π 4 3 (1 + a 2 0 k2 ) 6 dΩ= 32m(eE 0a 2 0)(ka 0 ) 3π 4 3 (1 + a 2 0 k2 ) 6 dΩConsideremos el Hamiltoniano típico de un electrón en el potencial electrostático generado por el núcleo.Este Hamiltoniano es:H 0 = − 22µ ∆ − Ze2r(446)Donde µ es la masa reducida del electrón. Si queremos hacer correcciones, debemos coniderar principalmentedos fenómenos. Uno de ellos corresponde a efectos relativistas y el otro es el spin del electrón.Estas dos correcciones, nos llevarán al correcto Hamiltoniano que buscamos obtener.K = [m 2 ec 4 + p 2 c 2 ] 1/2 − m e c 2 (447)Como nos referiremos principalmente a átomos con electrones de baja velocidad con respecto a c (v/c ≈Zα ≪ 1), podremos expandir en serie de potencias, obteniendo:K = p22µ − 1 ( )1 p22 µc 2 + . . .2µAqui hemos reemplazado m e por µ dado que la relación entre las masas es ≈1 /1800. Nótese que el primertérmino corresponde a H 0 , es decir, el hamiltoniano que ya habíamos considerado. El segundo términoen la ecuación anterior, representa a la corrección relativista en la energía cinética del Hamiltoniano, yqueda dada por:H K = − 1 (12 µc 2− 22µ ∆ ) 2(448)Por otro lado, el estudio relativista en la mecánica cuántica de átomos de un electrón, muestran que lainteracción del electrón con el núcleo, no es local y este efecto, es descrito agregando al Hamiltoniano elTérmino de Darwin, que es:H D =28µ 2 (∆V )(⃗r) (449)c2 69