Libro con resumenes y ejercicios resueltos

Problema 1:SolucionesPara resolver el problema, debemos usar el método de la ecuación secular. Entonces, lo que deseamoshacer es diagonalizar la matriz que describe el Hamiltoniano perturbado para obtener los autovaloresexactos de energía. La ecuación secular obtenida es entonces:(E 1 − λ)((E 1 − λ)(E 2 − λ) − |b| 2 ) + (a(λ − E 1 )a ∗ ) = 0 (383)Una solución trivial del problema es E 1 = λ. Por otro lado, debemos resolver la ecuación:Entonces, tenemos dos soluciones a esto:λ 2 − (E 1 + E 2 )λ + E 1 E 2 − |a| 2 − |b| 2 = 0 (384)Nótese que aquí hemos asumido que |a|, |b|, ≪ |E 2 − E 1 |.Luego, la teoría de perturbaciones se lee como:λ + = E 1 + |a|2 + |b| 2E 1 − E 2(385)λ − = E 2 − |a|2 + |b| 2E 1 − E 2(386)∆ 1 =∆ 2 =De esta manera, los niveles de energía quedan dados por:Problema 2: Notemos en primer lugar el Hamiltoniano sin perturbar:|a| 2E 1 − E 2(387)|b| 2E 1 − E 2(388)∆ 3 = |a|2 + |b| 2E 2 − E 1(389)E 1 + ∆ 1 (390)E 1 + ∆ 2 (391)E 2 + ∆ 3 (392)Donde, tenemos la condición del pozo potencial:H 0 = p2+ V (x) (393)2mV (x) = 0 si0 < x < L (394)V (x) = ∞ siesta en otro rango (395)58