Libro con resumenes y ejercicios resueltos

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SolucionesProblema 1:√Recordemos que x se puede escribir en función de los operadores de creación y aniquilación x =a † ). Esto nos deja:2mω (a+x 2 1 =x 2 2 =2mω (a2 1 + a 1 a † 1 + a† 1 a 1 + (a † 1 )2 ) (326)2mω (a2 2 + a 2 a † 2 + a† 2 a 2 + (a † 2 )2 ) (327)Utilizando las propiedades de a y a † obtendremos una expresión más sencilla. Las operaciones son:Se obtiene:a † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉 (328)a|n〉 = √ n|n − 1〉 (329)La corrección a segundo orden será:E (1)0 = 〈n|V |n〉 (330)E (1)0 = γω(331)4E (2)0 = ∑ |V nl | 2(332)E n − E ll≠nEsto se resolverá en primer lugar, obteniendo |V nl | 2Donde A = γω4Finalmente:V nl = 〈l|A(a 2 1 + a 1 a † 1 + a† 1 a 1 + (a † 1 )2 )(a 2 2 + a 2 a † 2 + a† 2 a 2 + (a † 2 )2 )|n〉 (333)V nl = A〈l|2〉〈m|2〉 (334)V nl = Aδ l2 δ m2 (335)E (2)0 = − γ2 ω16(336)(b) Buscaremos la ecuación secular, dada por:51
V ij = 〈φ i |V |φ j 〉〈1, 0|V |0, 1〉 = 3γω(337)4〈0, 1|V |0, 1〉 = 〈0, 1|V |1, 0〉 = 0 (338)Entonces V 21 = 0, V 12 = 0, V 11 = 3γω4y V 22 = 3γω4Ahora, en<strong>con</strong>tramos los auto valores resolviendo la ecuación secular. Obtendemos:ɛ ± = 3γω4Estos valores nos arrojan los autovectores (1, 0) y (0, 1) Estos siguen presentando degeneración.Ahora resolvemos la segunda excitación:⎛V = ⎝5γω4γω20 0γω205γω409γω4⎞⎠ (339)Resolvemos la ecuación secular, que arroja el sistema:∣5γω4− ɛγω2γω205γω4− ɛ 09γω0 04− ɛ∣ = 0 (340)Las soluciones a esto, corresponden a:ɛ 1 = 9γω4ɛ 2 = 3γω4ɛ 3 = 7γω4(341)(342)(343)Para obtener los autoestados, debemos calcular el kernel de la matriz que aparece en la ecuación secular.Para ɛ 1 , se obtienen el autoestado:|1〉 = |1, 1〉En el caso de ɛ 2 , se obtiene el autoestado:52
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2 Aproximación WKB2.1 Problemas Re
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E = 1 ( ( 22 mω2 n + 1 ) )− b 2m
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[ √ ]1/6 2/6B = √2/6 1/3(675)Es
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Ahora el elemento de matriz se calc
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De modo que nos es posible escribir
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Podemos hacer una analogía con la
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Como el operador involucrado consis
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Esto se simplifica , eliminando té
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considerando:k =√2mE 2 y E n = 2
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a) Una posible solución al problem
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De modo que tenemos tres casos:| 1,
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