Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
{〈ψ 2 |1〉 (1) = 1 (0)〈ψ 2 |Vv + (0) 〈ψ 2 |1〉 (1) |ψ 2 〉 (0) +0∑〈n|1〉 (1) |n〉 (0) }(281)(0) 〈ψ 2 |1〉 (1) v + = (0) 〈ψ 2 |1〉 (1) (0) 〈ψ 2 |V |ψ 2 〉 0 + ∑ (0) 〈n|1〉 (1) |n〉 (0) (282)Nótese que (0) 〈ψ 2 |V |ψ 2 〉 (0) = v − . Reemplazando (9) ahora, obtenemos:(0) 〈ψ 2 |1〉 (1) 1 ∑ (0) 〈n|V |ψ 1 〉 (0) (0) 〈ψ 2 |V |n〉 (0)=v + − v − E (0)1 − E n(0)Finalmente, reemplazando en (13), se obtiene:|1〉 (1) = ∑n≠1,2{ 〈ψ2 |V |n〉〈n|V |ψ 1 〉(E1 0 − E0 n)(v + − v − ) |ψ 2〉 + 〈n|V |ψ }1〉E1 0 − |n〉E0 n(283)(284)Para obtener |2〉, haremos:|2〉 (1) = (0) 〈ψ 1 |2〉 (1) |ψ 1 〉 (0) +(0)∑n≠1,2〈n|2〉 (1) |n〉 (0) (285)El proceso es análogo. Buscaremos (0) 〈n|2〉 (1) aplicando el brac (0) 〈n| a la ecuación (4):〈n|2〉 = 〈n|V |ψ 2〉E 0 2 − E0 n(286)Ahora, buscamos 〈ψ 1 |2〉 (1) aplicando el bra 〈ψ 1 | en (5)Reemplazaremos en esta ecuación, la ecuación (18), resultando:〈ψ 1 |2〉 (1) = 〈ψ 1|V |2〉 (1)v −(287)〈ψ 1 |2〉 (1) =1 ∑ 〈ψ1 |V |n〉〈n|V |ψ 2 〉v − − v + E2 0 − E n(288)Finalmente, reemplazando en (19) y (21) en (18)Luego, juntando las ecuaciones:|2〉 (1) = ∑{ 〈ψ 1|V |n〉〈n|V |ψ 2 〉E2 0 − E } (289)nn≠1,2|2〉 (1) = ∑n≠1,2{ 〈ψ1 |V |n〉〈n|V |ψ 2 〉(E2 0 − E0 n)(v − − v + ) |ψ 1〉 + 〈n|V |ψ }2〉E2 0 − |n〉E0 n(290)43
Ahora, necesitamos obtener la corrección de la función de onda: Utilizamos la ecuación (4) :Expresamos |n〉 como una combinación lineal:H 0 |n〉 (1) + V |n〉 (0) = E 0 n|n〉 (1) + E (1)n |n〉 (0) (291)|n〉 (1) = 〈ψ 1 |n〉 (1) |ψ 1 〉 + 〈ψ 2 |n〉 (1) |ψ 2 〉 + ∑ 〈l|n〉 (1) |l〉 (292)Necesitamos obtener los productos internos que involucran a |n〉 (1) , estos son: 〈ψ 1 |n〉 (1) , 〈ψ 2 |n〉 (1) y 〈l|n〉 (1) .Para obtenerlos, bracketeamos por la izquierda y obtenemos:Reemplazando, se obtiene:〈ψ 1 |n〉 = 〈ψ 1|V |n〉 (0)E 0 n − E 1(293)〈ψ 2 |n〉 (1) = 〈ψ 1|V |n〉 (0)E 0 n − E 2(294)〈l|n〉 (1) =〈l|V |n〉(0)E 0 n − E 0 l(295)|n〉 (1) = 〈ψ 1|V |n〉 0E 0 n − E 0 1|ψ 1 〉 + 〈ψ 2|V |n〉 (0)En 0 |ψ 2 〉 + ∑ − E 2l≠n〈l|V |n〉E 0 n − E l|l〉 (296)Queremos calcular las correcciones a segundo orden de la energía. Para obtener esto, aplicamos 〈ψ 1 | enla ecuación (4):Con esto, simplemente reemplazando, se obtiene:E 2 1 = 〈ψ 1 |V |1〉 1 (297){ ∑E1 2 〈ψ2 |V |n〉〈n|V |ψ 1 〉= 〈ψ 1 |V(E1 0 − E0 n)(v + − v − ) |ψ 2〉 + 〈n|V |ψ }1〉E1 0 − |n〉E0 nE1 2 = ∑ { 〈ψ 2 |V |n〉〈n|V |ψ 1 〉(E1 0 − E0 n)(v + − v − ) + 〈n|V |ψ }1〉〈ψ 1 |V |n〉E1 0 − E0 n(298)(299)yE 2 1 = ∑ |〈n|V |ψ 1 〉| 2E 1 − E nPara obtener E 2 2, aplicamos el bra por la izquierda con ψ 2 a la ec. (5). Obtenemos:E (2)2 = 〈ψ 2 |V |2〉 (1) (300)44
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Ahora, necesitamos obtener la corrección de la función de onda: Utilizamos la ecuación (4) :Expresamos |n〉 como una combinación lineal:H 0 |n〉 (1) + V |n〉 (0) = E 0 n|n〉 (1) + E (1)n |n〉 (0) (291)|n〉 (1) = 〈ψ 1 |n〉 (1) |ψ 1 〉 + 〈ψ 2 |n〉 (1) |ψ 2 〉 + ∑ 〈l|n〉 (1) |l〉 (292)Necesitamos obtener los productos internos que involucran a |n〉 (1) , estos son: 〈ψ 1 |n〉 (1) , 〈ψ 2 |n〉 (1) y 〈l|n〉 (1) .Para obtenerlos, bracketeamos por la izquierda y obtenemos:Reemplazando, se obtiene:〈ψ 1 |n〉 = 〈ψ 1|V |n〉 (0)E 0 n − E 1(293)〈ψ 2 |n〉 (1) = 〈ψ 1|V |n〉 (0)E 0 n − E 2(294)〈l|n〉 (1) =〈l|V |n〉(0)E 0 n − E 0 l(295)|n〉 (1) = 〈ψ 1|V |n〉 0E 0 n − E 0 1|ψ 1 〉 + 〈ψ 2|V |n〉 (0)En 0 |ψ 2 〉 + ∑ − E 2l≠n〈l|V |n〉E 0 n − E l|l〉 (296)Queremos calcular las correcciones a segundo orden de la energía. Para obtener esto, aplicamos 〈ψ 1 | enla ecuación (4):Con esto, simplemente reemplazando, se obtiene:E 2 1 = 〈ψ 1 |V |1〉 1 (297){ ∑E1 2 〈ψ2 |V |n〉〈n|V |ψ 1 〉= 〈ψ 1 |V(E1 0 − E0 n)(v + − v − ) |ψ 2〉 + 〈n|V |ψ }1〉E1 0 − |n〉E0 nE1 2 = ∑ { 〈ψ 2 |V |n〉〈n|V |ψ 1 〉(E1 0 − E0 n)(v + − v − ) + 〈n|V |ψ }1〉〈ψ 1 |V |n〉E1 0 − E0 n(298)(299)yE 2 1 = ∑ |〈n|V |ψ 1 〉| 2E 1 − E nPara obtener E 2 2, aplicamos el bra por la izquierda <strong>con</strong> ψ 2 a la ec. (5). Obtenemos:E (2)2 = 〈ψ 2 |V |2〉 (1) (300)44
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