Libro con resumenes y ejercicios resueltos

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dHdndHdn= 0( ) [ ]2 (4 · 4n + 4(4n + 1))(2n − 1) − (4n + 1)(4n)2=2ma 2 2(2n − 1) 2Luego, tenemos que el numerador debe anularse (también es solución que el denominador se indefina peroese valor obtenido indefine la función hallada de modo que la desechamos):(32n + 4)(2n − 1) − 2(16n 2 + 4n) = 032n(2n − 1) + 4(2n − 1) − 32n 2 − 8n = 032n 2 − 32n − 4 = 08n 2 − 8n − 1 = 0Lo que arroja una solución:Por último, nos queda evaluar:Utilizando n=1 (no óptimo), se obtiene:n ± = 8 ± √ 64 − 4 · 8 · (−1)16n ± = 8 ± √ 9616n + = 1.1123n − = −0.1123( ) 2H = 102ma 2(264)Utilizando n=1.1123 resuelto con el método variacional, se obtiene:( ) 2H = 9.89892ma 2(265)Utilizando n=-0.1123 resuelto con el método variacional (descartaremos este valor), se obtiene:( ) 2H = −0.12ma 2(266)41
Mientras que con el valor original π 2 , se obtiene:( ) 2H = 9.86962ma 2(267)De modo que nuestra solución obtenida es muy cercana a la solución real.Problema 2:Sabemos, de clases que los valores de expectación del potencial en la base antigua del Hamiltoniano. Setiene:Además, igualando los distintos ordenes de λ obtenemos:〈ψ 1 |V |ψ 1 〉 = E (1)1 = v + (268)〈ψ 2 |V |ψ 2 〉 = E (1)2 = v − (269)H 0 |ψ n 〉 = E n (1) |ψ〉 (0) (270)H 0 |n〉 (1) + V |ψ n 〉 (0) = E n (0) |n〉 (1) + E n (1) |ψ n 〉 (271)H 0 |n〉 (2) + V |n〉 (1) = E n (1) |n〉 (2) + E n (1) |n〉 1 + E n (2) |ψ n 〉 (272)Ahora, lo que haremos será aplicar (0) 〈n| a la ecuación (271):(0) 〈n|H 0 |1〉 (1) − (0) 〈n|V |ψ 1 〉 (0) = (0) 〈n|E (1)0 |1〉(1) + (0) 〈n|E (0)1 |ψ 1〉 (0) (273)E n (0) 〈n|1〉 (1) + (0) 〈n|V |ψ 1 〉 (0) = E (0)1〈n|1〉 (1) − E (1)1〈n|ψ 1 〉 (0) (274)(E n (0) − E (0)1 )(0) 〈n|1〉 (1) = − (0) 〈n|V |ψ 1 〉 (0) (275)〈n|1〉 (1) =(0) 〈n|V |ψ 1 〉 (0)E1 0 − E n(276)Ahora queremos calcular (0) 〈ψ 2 |1〉 (1) . Para obtenerlo, aplicamos 〈ψ 2 |:〈ψ 2 |H 0 |1〉 (2) + 〈ψ 2 |V |1〉 (1) = 〈ψ 2 |E (1)1 |1〉(2) + 〈ψ 2 |E (1)1 |1〉(1) + 〈ψ 2 |E (2)1 |ψ 1〉 (277)E (0)2 〈ψ 2|1〉 (2) + 〈ψ 2 |V |1〉 (1) = E (1)1 〈ψ 2|1〉 (2) + v + 〈ψ 2 |1〉 (1) + E (2)1 〈ψ 2|ψ 1 〉 (278)〈ψ 2 |1〉 (1) = 〈ψ 2 |V |1〉 (1) /v + (279)Recordemos que buscamos una expresión para |1〉 (1) tal como:|1〉 (1) = (0) 〈ψ 2 |1〉 (1) |ψ 2 〉 (0) +Entonces, reemplazamos (13) en (12) y obtenemos:(0)∑n≠1,2〈n|1〉 1 |n〉 (0) (280)42
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2 Aproximación WKB2.1 Problemas Re
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E = 1 ( ( 22 mω2 n + 1 ) )− b 2m
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a) Una posible solución al problem
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