Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
I 1,2 = −∫ a02n 2 x 2n−1 (a − x) 2n−1 dxx= u → dx = duaa∫ 1I 1,2 = −2n 2 (au) 2n−1 a 2n−1 (1 − u) 2n−1 adu0∫ 1I 1,2 = −2n 2 a 4n−1 u 2n−1 (1 − u) 2n−1 duI 1,2 = −2n 2 a 4n−1 B(2n, 2n)0I 1,2 = −2n 2 a 4n−1 ( Γ(2n)Γ(2n)Γ(4n)Finalmente nos queda el tercer término de I 1 :I 1,2 = −2n 2 a 4n−1 ( (2n − 1)!(2n − 1)!(4n − 1)!))I 1,3 =xa∫ a0= u → dx aI 1,3 = n(n − 1)I 1,3 = n(n − 1)n(n − 1)x 2n (a − x) 2n−2 dx∫ 10∫ 10= dua 2n u 2n a 2n−2 (1 − u) 2n−2 adua 4n−1 u 2n (1 − u) 2n−2 duI 1,3 = n(n − 1)a 4n−1 B(2n + 1, 2n − 1)( )Γ(2n + 1)Γ(2n − 1)I 1,3 = n(n − 1)a 4n−1 Γ4n( )(2n)!(2n − 2)!I 1,3 = n(n − 1)a 4n−1 (4n − 1)!Ahora, lo que debemos hacer es calcular la integral inferior I 2 :39
I 2 =Ahora, podemos calcular I = (I 1 /I 2 ):∫ a0x 2n (a − x) 2n dxx= u → dx = duaaI 2 = a 2n u 2n a 2n (1 − u) 2n adx∫ 1I 2 = a 4n+1 u 2n (1 − u) 2n dx0I 2 = a 4n+1 B(2n + 1, 2n + 1)( )Γ(2n + 1)Γ(2n + 1)I 2 = a 4n+1 Γ(4n + 2)( )(2n)!(2n)!I 2 = a 4n+1 (4n + 1)!I = I 1,1 + I 1,2 + I 1,3I 2I =I =n(n − 1)a 4n−1 ((2n−2)!(2n)!(4n−1)!( )n(n − 1)a 4n−1 (2n−2)!(4n−1)!)( )− 2n 2 a 4n−1 (2n−1)!(2n−1)!(4n−1)!( )a 4n+1 (2n)!(2n)!(4n+1)!( )− na 4n−1 (2n−1)!(4n−1)!( )a 4n+1 (2n)!(4n+1)!( )+ n(n − 1)a 4n−1 (2n)!(2n−2)!(4n−1)!+ n(n − 1)a 4n−1 ((2n−2)!(4n−1)!I = n(n − 1)a4n−1 (2n − 2)! − na 4n−1 (2n − 1)! + n(n − 1)a 4n−1 (2n − 2)!a 4n+1 (4n)(4n + 1)(2n)!n(n − 1)(2n − 2)! − n(2n − 1)! + n(n − 1)(2n − 2)! (4n)(4n + 1)I = ·(2n)!a 2I =n(n − 1)(2n − 2)! − n(2n − 1)(2n − 2)! + n(n − 1)(2n − 2)!(2n)(2n − 1)(2n − 2)!n(n − 1) − n(2n − 1) + n(n − 1)I =(2n)(2n − 1)(4n)(4n + 1)I = −a 2 2(2n − 1)·(4n)(4n + 1)a 2·)(4n)(4n + 1)a 2Finalmente obtenemos el resultado que buscabamos que es:( ) 2 (4n)(4n + 1)H =2ma 2 2(2n − 1)(263)Para continuar con el método variacional, debemos minimizar este hamiltoniano dado con la función deprueba, de modo que:40
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I 2 =Ahora, podemos calcular I = (I 1 /I 2 ):∫ a0x 2n (a − x) 2n dxx= u → dx = duaaI 2 = a 2n u 2n a 2n (1 − u) 2n adx∫ 1I 2 = a 4n+1 u 2n (1 − u) 2n dx0I 2 = a 4n+1 B(2n + 1, 2n + 1)( )Γ(2n + 1)Γ(2n + 1)I 2 = a 4n+1 Γ(4n + 2)( )(2n)!(2n)!I 2 = a 4n+1 (4n + 1)!I = I 1,1 + I 1,2 + I 1,3I 2I =I =n(n − 1)a 4n−1 ((2n−2)!(2n)!(4n−1)!( )n(n − 1)a 4n−1 (2n−2)!(4n−1)!)( )− 2n 2 a 4n−1 (2n−1)!(2n−1)!(4n−1)!( )a 4n+1 (2n)!(2n)!(4n+1)!( )− na 4n−1 (2n−1)!(4n−1)!( )a 4n+1 (2n)!(4n+1)!( )+ n(n − 1)a 4n−1 (2n)!(2n−2)!(4n−1)!+ n(n − 1)a 4n−1 ((2n−2)!(4n−1)!I = n(n − 1)a4n−1 (2n − 2)! − na 4n−1 (2n − 1)! + n(n − 1)a 4n−1 (2n − 2)!a 4n+1 (4n)(4n + 1)(2n)!n(n − 1)(2n − 2)! − n(2n − 1)! + n(n − 1)(2n − 2)! (4n)(4n + 1)I = ·(2n)!a 2I =n(n − 1)(2n − 2)! − n(2n − 1)(2n − 2)! + n(n − 1)(2n − 2)!(2n)(2n − 1)(2n − 2)!n(n − 1) − n(2n − 1) + n(n − 1)I =(2n)(2n − 1)(4n)(4n + 1)I = −a 2 2(2n − 1)·(4n)(4n + 1)a 2·)(4n)(4n + 1)a 2Finalmente obtenemos el resultado que buscabamos que es:( ) 2 (4n)(4n + 1)H =2ma 2 2(2n − 1)(263)Para <strong>con</strong>tinuar <strong>con</strong> el método variacional, debemos minimizar este hamiltoniano dado <strong>con</strong> la función deprueba, de modo que:40
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