Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
Problema 2:Recordar: Básicamente, se trata de buscar los autovalores de la matriz de nxn:W ij = 〈ψi 0 |H ′ |ψj 0 〉En primer lugar, debemos suponer isotropía. Tenemos:H 0 = ω(a † 1 a 1 + a † 2 a 2) (221)H ′ = λ(a † 1 a† 1 a 2a 2 + a † 2 a† 2 a 1a 1 ) (222)Tenemos que:ˆn = a † a (223)ˆn|n〉 = n|n〉 (224)Y si separamos por ambas direcciones:H 0(1) = ω(a † 1 a 1) → direccion x (225)H 0(2) = ω(a † 2 a 2) → direccion y (226)(227)Luego, tenemos:H 0(1) + H 0(2) = ω(a † 1 a 1 + a † 2 a 2) (228)y aplicando las relaciones anteriores:H 0(1) |n 1 〉 (0) = ω(a † 1 a 1)|n 1 〉 = ωn 1 |n 1 〉 (229)H 0(2) |n 2 〉 (0) = ω(a † 2 a 2)|n 2 〉 = ωn 2 |n 2 〉 (230)Luego, naturalmente se deriva:H 0 |n 1 , n 2 〉 (0) = ω(a † 1 a 1 + a † 2 a 2)|n 1 , n 2 〉 (0) (231)H 0 |n 1 , n 2 〉 (0) = ω(n 1 + n 2 )|n 1 , n 2 〉 (0) (232)Luego, tenemos que:|0, 0〉 con E 0 = 0 groundstate (233)|1, 0〉 |0, 1〉 E 1 = ω 1er Nivel excitado (234)|1, 1〉, |2, 0〉, |0, 2〉 E 2 = 2ω 2 o Nivel excitado (235)Segundo Nivel:|2, 0〉 (0) , |1, 1〉 (0) , |0, 2〉 (0) (236)Consideramos el cambio de Base:a 11 |2, 0〉 (0) + a 12 |1, 1〉 + a 13 |0, 2〉 → ψ 1 (237)a 21 |2, 0〉 (0) + a 22 |1, 1〉 + a 23 |0, 2〉 → ψ 2 (238)a 31 |2, 0〉 (0) + a 32 |1, 1〉 + a 33 |0, 2〉 → ψ 3 (239)33
⎞Entonces, tenemos dos matrices importantes:⎛a 11 a 12 a 13⎛a 31 a 32 a 33A = ⎝ a 21 a 22 a 23⎠ V = ⎝Por otro lado, tenemos las ecuaciones:Además:y otro término de la matriz está dado por:Es posible calcular:Se resuelve el problema de autovalores:H 11 ′ H 12 ′ H 13′H 21 ′ H 22 ′ H 23′H 31 ′ H 32 ′ H 33′⎞⎠ (240)a|0〉 = 0 (241)a † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉 (242)a|n〉 = √ n|n − 1〉 (243)H ′ 22 = (0) 〈1, 1|a † 1 a† 1 a 2a 2 + a † 2 a† 2 a 1a 1 |1, 1〉λ (244)= [ (0) 〈1, 1|a † 1 a† 1 a 2a 2 |1, 1〉 + 〈1, 1|a † 2 a† 2 a 1a 1 |1, 1〉 (0) ]λ (245)= 0 (246)H ′ 13 = (0) 〈2, 0|H ′ |0, 2〉 (247)H ′ 13 = λ{ (0) 〈2, 0|a † 1 a† 1 a 2a 2 |0, 2〉 + 〈2, 0|a † 2 a† 2 a 1a 1 |0, 2〉} (248)= λ √ 2 √ 1 √ 1 √ 2〈2, 0|2, 0〉 (249)= 2λ (250)⎛V ⎝αβγ⎞⎛⎠ = v ⎝αβγ⎞⎠ (251)Resolviendo el problema de autovalores:−v 0 2λ0 −v 0∣ 2λ 0 −v ∣ = −x(x2 − 4λ 2 ) = 0 (252)Lo que nos arroja los autovalores y autovectores siguientes:x 1 = 0 (253)x 2 = 2λ (254)x 3 = −2λ (255)y autovectores:⎛v 1 = √ 1 ⎝2101⎞⎛⎠ v 2 = ⎝010⎞⎛⎠ v 3 = √ 1 ⎝2−101⎞⎠ (256)34
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Problema 2:Recordar: Básicamente, se trata de buscar los autovalores de la matriz de nxn:W ij = 〈ψi 0 |H ′ |ψj 0 〉En primer lugar, debemos suponer isotropía. Tenemos:H 0 = ω(a † 1 a 1 + a † 2 a 2) (221)H ′ = λ(a † 1 a† 1 a 2a 2 + a † 2 a† 2 a 1a 1 ) (222)Tenemos que:ˆn = a † a (223)ˆn|n〉 = n|n〉 (224)Y si separamos por ambas direcciones:H 0(1) = ω(a † 1 a 1) → direccion x (225)H 0(2) = ω(a † 2 a 2) → direccion y (226)(227)Luego, tenemos:H 0(1) + H 0(2) = ω(a † 1 a 1 + a † 2 a 2) (228)y aplicando las relaciones anteriores:H 0(1) |n 1 〉 (0) = ω(a † 1 a 1)|n 1 〉 = ωn 1 |n 1 〉 (229)H 0(2) |n 2 〉 (0) = ω(a † 2 a 2)|n 2 〉 = ωn 2 |n 2 〉 (230)Luego, naturalmente se deriva:H 0 |n 1 , n 2 〉 (0) = ω(a † 1 a 1 + a † 2 a 2)|n 1 , n 2 〉 (0) (231)H 0 |n 1 , n 2 〉 (0) = ω(n 1 + n 2 )|n 1 , n 2 〉 (0) (232)Luego, tenemos que:|0, 0〉 <strong>con</strong> E 0 = 0 groundstate (233)|1, 0〉 |0, 1〉 E 1 = ω 1er Nivel excitado (234)|1, 1〉, |2, 0〉, |0, 2〉 E 2 = 2ω 2 o Nivel excitado (235)Segundo Nivel:|2, 0〉 (0) , |1, 1〉 (0) , |0, 2〉 (0) (236)Consideramos el cambio de Base:a 11 |2, 0〉 (0) + a 12 |1, 1〉 + a 13 |0, 2〉 → ψ 1 (237)a 21 |2, 0〉 (0) + a 22 |1, 1〉 + a 23 |0, 2〉 → ψ 2 (238)a 31 |2, 0〉 (0) + a 32 |1, 1〉 + a 33 |0, 2〉 → ψ 3 (239)33
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