Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
E 1 − E + → −(E 2 − E 1 ) − λ2 a 2E 1 − E − → λ2 a 2E 2 − E 1C + → (E 2 − E 1 ) +C − → λaDe modo que con la fase arbitraria tenemos:ψ + →ψ − →( iλaE 2−E 1)1( ) 1iλaE 2−E 1Resolveremos ahora por medio de teoría de perturbacionesLos autovalores a orden cero son:E 2 − E 1λ 2 a 22(E 2 − E 1 )y los autovectores:E (0)1 = E 1E (0)2 = E 2ψ (0))( 11 =0( )ψ (0) 02 =1La primera corrección a los autovalores es cero dado que:〈ψ (0)1 |H′ |ψ (0)1 〉 = 0〈ψ (0)2 |H′ |ψ (0)2 〉 = 0Por otro lado, la primera corrección para la función de onda:ψ (1)1 = ψ(0) 2 〈ψ(0)ψ (1)2 = ψ(0) 1 〈ψ(0)2 |H′ |ψ (0)1 〉E (0)1 − E (0)2= −ia ( ) 0E 1 − E 2 12 〉1 |H′ |ψ (0)E (0)1 − E (0)2=iaE 1 − E 2( 10)27
Problemas ExtraDerive en detalle la expresión para la corrección de la función de onda en segundo orden de teoría de perturbaciones(esquema de Rayleigh-Schrdinger) en el caso estacionario no degenerado.|n〉 (2) = ∑m,l≠n|l (0) 〉〈l (0) |V |m (0) 〉〈m (0) |V |n (0) 〉− ∑ |l (0) 〉〈l (0) |V |n (0) 〉〈n (0) |V |n (0) 〉(180)(E n (0) − E (0)l)(E n (0) − E m (0) ) l≠n (E n (0) − E (0)l) 2SoluciónYa fue resuelta en clases las expresiones para la corrección a primer orden de la energía y de la onda. Dadaspor:Ahora, consideremos la corrección para segundo orden:E n (1) = (0) 〈n|V |n〉 (0) (181)|n〉 (1) = ∑ |l〉 (0) (0) 〈l|V |n〉 (0)(182)E n (0) − E l(183)(H 0 − E 0 n)|n〉 (2) + (V − E n )|n〉 (1) − E (2)n |n〉 (0) (184)Reemplazaremos las primeras ecuaciones en la última, obteniendo:(H 0 − E n (0) )|n〉 (2) + (V − (0) 〈n|V |n〉 (0) ) ∑ |l〉 (0) (0) 〈l|V |n〉 (0)− EE n (0)n (2) |n〉 (0) = 0 (185)− E lAhora bracketeamos por la izquierda con 0 〈m|, tomando m ≠ n. Haciendo esto, obtenemos:0 〈m|H 0 − E n (0) |n〉 (2) + ∑ (0) 〈l|V |n〉 (0)( (0) 〈m|V |l〉 (0) − (0) 〈m| (0) 〈n|V |n〉 (0) |l〉 (0) ) − EE n (0) − E (0)n (2) (0) 〈m|n〉 0 = 0 (186)lAdemas, sabemos del problema original, que:H 0 |n〉 (0) = E (0)n |n〉 (0)(H 0 − E (0)n )|n〉 (0) = 0Si en esta ecuación bracketeamos por la izquierda con (0) 〈m|, con lo que obtenemos:Como m ≠ n:(E 0 m − E (0)n ) (0) 〈m|n〉 (0) = 0 (187)Ahora, utilicemos la ecuación (13) , que nos queda:E (0)m − E (0)n ≠ 0→ 0 〈m|n〉 (0) = 028
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Problemas ExtraDerive en detalle la expresión para la corrección de la función de onda en segundo orden de teoría de perturbaciones(esquema de Rayleigh-Schrdinger) en el caso estacionario no degenerado.|n〉 (2) = ∑m,l≠n|l (0) 〉〈l (0) |V |m (0) 〉〈m (0) |V |n (0) 〉− ∑ |l (0) 〉〈l (0) |V |n (0) 〉〈n (0) |V |n (0) 〉(180)(E n (0) − E (0)l)(E n (0) − E m (0) ) l≠n (E n (0) − E (0)l) 2SoluciónYa fue resuelta en clases las expresiones para la corrección a primer orden de la energía y de la onda. Dadaspor:Ahora, <strong>con</strong>sideremos la corrección para segundo orden:E n (1) = (0) 〈n|V |n〉 (0) (181)|n〉 (1) = ∑ |l〉 (0) (0) 〈l|V |n〉 (0)(182)E n (0) − E l(183)(H 0 − E 0 n)|n〉 (2) + (V − E n )|n〉 (1) − E (2)n |n〉 (0) (184)Reemplazaremos las primeras ecuaciones en la última, obteniendo:(H 0 − E n (0) )|n〉 (2) + (V − (0) 〈n|V |n〉 (0) ) ∑ |l〉 (0) (0) 〈l|V |n〉 (0)− EE n (0)n (2) |n〉 (0) = 0 (185)− E lAhora bracketeamos por la izquierda <strong>con</strong> 0 〈m|, tomando m ≠ n. Haciendo esto, obtenemos:0 〈m|H 0 − E n (0) |n〉 (2) + ∑ (0) 〈l|V |n〉 (0)( (0) 〈m|V |l〉 (0) − (0) 〈m| (0) 〈n|V |n〉 (0) |l〉 (0) ) − EE n (0) − E (0)n (2) (0) 〈m|n〉 0 = 0 (186)lAdemas, sabemos del problema original, que:H 0 |n〉 (0) = E (0)n |n〉 (0)(H 0 − E (0)n )|n〉 (0) = 0Si en esta ecuación bracketeamos por la izquierda <strong>con</strong> (0) 〈m|, <strong>con</strong> lo que obtenemos:Como m ≠ n:(E 0 m − E (0)n ) (0) 〈m|n〉 (0) = 0 (187)Ahora, utilicemos la ecuación (13) , que nos queda:E (0)m − E (0)n ≠ 0→ 0 〈m|n〉 (0) = 028
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