Libro con resumenes y ejercicios resueltos

x = 1 2 (a + a† )V = λ 16 (a + a† ) 4Por otro lado, la energía de un oscilador es E n(0) = 2n + 1 (ojo que las constantes han sido aproximadassegún las indicaciones de enunciado). Ahora, necesitamos resolver la segunda aproximación de energía:E (2)0 = ∑ | (0) 〈l|V |n〉 (0) | 22 · 0 + 1 − (2 · l + 1)E (2)0 = ∑ | (0) 〈l|V |n〉 (0) | 2−2lE (2)0 = − 1 ∑ | (0) 〈l|(a + a † ) 4 |n〉 (0) | 232lEsta expresión es un tanto complicada por lo que primero resolveremos el argumento dentro del módulocuadrado:〈l|(a + a † ) 4 |0〉 = 〈l|a 4 |0〉 + 〈l|a 3 a † |0〉 + 〈l|a 2 a † a|0〉 + 〈l|a 2 (a † ) 2 |0〉 + 〈l|aa † a 2 |0〉 + 〈l|(aa † ) 2 |0〉+〈l|a(a † ) 2 a|0〉 + 〈l|a(a † ) 3 |0〉 + 〈l|a † a 3 |0〉 + 〈l|a † a 2 a † |0〉 + 〈l|(a † a) 2 |0〉+〈l|a † a(a † ) 2 |0〉 + 〈l|(a † ) 2 a 2 |0〉 + 〈l|(a † ) 2 aa † |0〉 + 〈l|(a † ) 3 a|0〉 + 〈l|(a † ) 4 |0〉Ahora necesitamos calcular estas expresiones. Las separare considerando que hay un grupo que inmediatamentese elimina. Esto se provoca porque cuando a actúa sobre |0〉 se anula. De modo que los siguientestérminos se anulan inmediatamente:〈l|a 4 |0〉 = 0〈l|a 2 a † a|0〉 = 0〈l|aa † a 2 |0〉 = 0〈l|a(a † ) 2 a|0〉 = 0〈l|(a † a) 2 |0〉 = 0〈l|a † a 3 |0〉 = 0〈l|(a † ) 2 a 2 |0〉 = 0〈l|(a † ) 3 a|0〉 = 0Consideremos las siguientes propiedades:Utilizando estas propiedades, calcularemos los productos restantes,a † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉 (174)a|n〉 = √ n|n − 1〉 (175)23