Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
Problemas1. Encuentre el resultado para la corrección a segundo orden de la energía del estado fundamental de unoscilador armónico perturbado por un término λx 4 , i.e.E 0 (λ) = 1 + 3 4 λ − 2116 λ2 + ...donde, en aras de la simplicidad, se ha escogido = 2M = k/2 = 1, siendo H 0 el hamiltoniano deun oscilador armónico de masa M y constante k. De este modo el espectro no perturbado viene dadosimplemente por E 0 n = 2n + 1.2. Un oscilador armónico 1-dimensional que posee carga eléctrica e se localiza en presencia de un campoeléctrico externo uniforme ⃗ E = E 0ˆx. El hamiltoniano del sistema viene dado por:d 2H = − 22m dx 2 + 1 2 mω2 − eEx(a) Calcule los niveles de energía corregidos a segundo orden y la función de onda a primer orden en teoríade perturbaciones y compare con el resultado exacto. Es decir debe resolver el problema en forma exactay verificar, en este caso, las bondades de teoría de perturbaciones.3. Un sistema de dos niveles. Considere el hamiltoniano:H = H 0 + λH ′conyH 0 =H ′ =( )E1 00 E 2(0)ia−ia 0(167)(168)(a) Resuelva en forma exacta los autovalores y autoestados.(b) Resuelva tanto los autovalores como las autofunciones a segundo orden usando teoría de perturbaciones.¿ Cómo se comparan los autovalores exactos con los que ha obtenido mediante teoría de perturbaciones?21
Problema 1:SolucionesConsideremos las corrección a primer orden (corrección del n-esimo estado a primer orden):E (1)n = 〈n|V |n〉 (169)Recordemos que:|n〉 =√12 n n! ·( mω) (√ )1/4· e− mωx2 mω2 · H nπ xn = 0, 1, 2, ... (170)En nuestro caso:|0〉 = π −1/4 e −x2 /2 · H 0 (x)|0〉 = π −1/4 e −x2 /2Luego, calculando explícitamente la integral, se obtiene:E (1)0 =E (1)0 =∫ ∞−∞∫ ∞−∞E (1)0 = π −1/2 ·E (1)0 = 3 4π −1/4 e −x2 /2 x 4 π −1/4 e −x2 /2 dxπ −1/2 e −x2 x 4 dx( √ ) 3 π4Es útil recordar que:( 1Γ2)= √ π (171)Γ(z) =∫ ∞0t z−1 e −t dt (172)Por otro lado, sabemos que la corrección a segundo orden viene dada por:E (2)n= ∑ m≠n| (0) 〈l|V |n〉 (0) | 2E (0)n − E (0)l√En este problema lo que utilizaremos es V = λx 4 , donde x =2mω (a + a† ). Además en las instruccionesdel enunciado, se dice: = 2M = k/2 = 1 y sabemos que ω = k 2 /2m, entonces:(173)22
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Problema 1:SolucionesConsideremos las corrección a primer orden (corrección del n-esimo estado a primer orden):E (1)n = 〈n|V |n〉 (169)Recordemos que:|n〉 =√12 n n! ·( mω) (√ )1/4· e− mωx2 mω2 · H nπ xn = 0, 1, 2, ... (170)En nuestro caso:|0〉 = π −1/4 e −x2 /2 · H 0 (x)|0〉 = π −1/4 e −x2 /2Luego, calculando explícitamente la integral, se obtiene:E (1)0 =E (1)0 =∫ ∞−∞∫ ∞−∞E (1)0 = π −1/2 ·E (1)0 = 3 4π −1/4 e −x2 /2 x 4 π −1/4 e −x2 /2 dxπ −1/2 e −x2 x 4 dx( √ ) 3 π4Es útil recordar que:( 1Γ2)= √ π (171)Γ(z) =∫ ∞0t z−1 e −t dt (172)Por otro lado, sabemos que la corrección a segundo orden viene dada por:E (2)n= ∑ m≠n| (0) 〈l|V |n〉 (0) | 2E (0)n − E (0)l√En este problema lo que utilizaremos es V = λx 4 , donde x =2mω (a + a† ). Además en las instruccionesdel enunciado, se dice: = 2M = k/2 = 1 y sabemos que ω = k 2 /2m, entonces:(173)22
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