Libro con resumenes y ejercicios resueltos

De modo que tenemos tres casos:| 1, 1, 1/2, 1/2〉 =| 1/2, 1/2〉| 1, −1, 1/2, 1/2〉 =| 1/2, −1/2〉 | 1/2, −1/2〉| 1, 0, 1/2, 1/2〉 = 1 √2(| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉+ | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)5.1.5 Problema 5Considere un sistema formado por tres spines S=1/2. En el espacio productoH S = H 1 S ⊗ H 2 S ⊗ H 3 sde los espacios de Hilbert de cada spin tenemos el vector| u〉 = 1 √2(| + − +〉− | − + +〉)¿ Qué vector resulta de la acción de simetrizar y/o antisimetrizar el estado | u〉 ?SoluciónEn primer lugar, lo que haremos es simetrizar. Para ello, debemos usar el determinante de Slater, con U dadoen el enunciado.En los determinantes cambiamos la notación a up i para + en el Hilbert i del producto tensorial y con downpara -.Entonces:⎡⎧| U〉 sim = √ 1 ⎨⎣12 ⎩up 1 down 1 up 1up 2 down 2 up 2up 2 down 3 up 3⎫⎬⎭ − ⎧⎨⎩⎫down 1 up 1 up 1 ⎬down 2 up 2 up 2⎭down 2 up 3 up 3Ahora calculamos cada matriz, con lo que obtenemos:⎧⎫⎨ up 1 down 1 up 1 ⎬up 2 down 2 up 2 =| + − +〉+ | − + +〉+ | + + −〉+ | + − +〉+ | + + −〉+ | − + +〉⎩⎭up 2 down 3 up 3⎧⎨⎩⎫down 1 up 1 up 1 ⎬down 2 up 2 up 2 =| − + +〉+ | + + −〉+ | + − +〉+ | + + −〉+ | − + +〉+ | + − +〉⎭down 2 up 3 up 3Cuando restamos, se anulan, de modo que:| U〉 sim = 0⎤⎦Para el caso antisimétrico haremos lo mismo, pero ahora calculamos el determinante de matriz como es usual,es decir:⎡∣ ∣⎤| U〉 sim = √ 1up 1 down 1 up 1 ∣∣∣∣∣ down 1 up 1 up 1 ∣∣∣∣∣⎣12 up 2 down 2 up 2 −down 2 up 2 up 2⎦∣ up 2 down 3 up 3∣ down 2 up 3 up 3128