Libro con resumenes y ejercicios resueltos

a) Una posible solución al problema tendría forma:Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = ψ n,l,m (⃗r 1 )ψ n′ ,l ′ ,m ′(⃗r 2)Como tenemos un electrón en el estado fundamental y el otro electron en un estado excitado con númeroscuánticos n,l y m, tendremos:Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = ψ 1,0,0 (⃗r 1 )ψ n,l,m (⃗r 2 )Esta situación puede cambiar según la paridad del número cuántico l, cambiando la paridad de la función Ψ.De este modo para l par debemos usar el singlete, es decir:= [ψ 100 (r 1 )ψ nlm (r 2 ) + ψ 100 (r 2 )ψ nlm (r 1 )] ·Ψ T s = [ψ 100 (r 1 )ψ nlm (r 2 ) + ψ 100 (r 2 )ψ nlm (r 1 )] X sY cuando consideramos el l impar debemos usar el triplete, es decir:1√2(| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉− | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)Ψ T t = [ψ 100 (r 1 )ψ nlm (r 2 ) − ψ 100 (r 2 )ψ nlm (r 1 )] X tdonde consideramos:⎡X t = ⎣| 1/2, 1/2〉| 1/2, −1/2〉 | 1/2, −1/2〉1√2(| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉+ | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)⎤⎦Como la función total debe ser antisimétrica puesto que son electrones, evidentemente cuando consideramosel singlete, la parte espacial queda simétrica, de modo que los electrones pueden estar más cerca uno del otroproduciendo mayor interacción.Es por esta razón que la energía de interacción asociada al singlete es mayor.b) La función de onda para el oscilador armónico cuántico es:ψ n = 1 √2n n!( mω) 14π(√ )e − mωx2 mω2 Hn xDefiniremos la perturbación energética en función de las cantidades vistas en clases (J y K)∫J = d 3 x 1 d 3 x 2 | ψ a (x 1 ) | 2 | ψ b (x 2 ) | 2∫K =e2r 12d 3 x 1 d 3 x 2 ψ a (x 1 )ψ b (x 2 ) e2r 12ψ ∗ a(x 2 )ψ ∗ b (x 1 )Para el caso n=0 y m=1, las funciones de onda asociadas al problema son:( mω) 14ψ 0 = e − mωx22πψ 1 = √ 1 ( mω) √14e − mωx2 mω2 2 2 π x126