Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
5.1.2 Problema 2Considere un sistema de dos spines 1/2. El operador P(12) s que produce el intercambio de estados de spin delas dos partículas en el espacio producto H S = H (1)S⊗ H(2) Spuede ser definido a través de su acción sobrela base de autoestados| m 1 , m 2 〉 =| m 1 〉 (1) | m 2 〉 (2) rotulados por los autovalores de los operadores de spin( S ⃗(1) ) 2 , ( S ⃗(2) ) 2 , S z (1) , S z(2) correspondientes a los spines (1) y (2), respectivamente.P S (12) | m 1, m 2 〉 ≡| m 2 , m 1 〉Este operador se conoce con el nombre de operador de intercambio de spin. Por simplicidad lo denotaremospor P (12) . Muestre que se cumple lo siguiente:a) P −1(12) = P † (12) = P (12)b) Los autovales de P (2) solamente pueden valer ±1.c) Los autoestados simultáneos de( S ⃗(1) ) 2 , ( S ⃗(2) ) 2 , S ⃗ T 2 = (⃗ S 1 + S ⃗ 2 ) 2 y S T z también son autoestados del operadorde intercambio de spin.d) Trabajando en el espacio de Hilbert producto tensorial de los dos espacios de spin 1/2, muestre que elsiguiente operadorP (12) = 1 [I + 4 ]2 ⃗ 2 S (1) · ⃗S (2)efectivamente representa un operador de intercambio de spin, esot esP (12) | m 1 , m 2 〉 =| m 1 , m 2 〉Solucióna) Sabemos que:y si volvemos a aplicar el operador tendremos:de modo que obtenemos:P (12) | m 1 , m 2 〉 ≡| m 2 , m 1 〉P (12) P (12) | m 1 , m 2 〉 = P (12) | m 2 , m 1 〉= | m 1 , m 2 〉P (12) P (12) = I → P (12) = P −1(12)Además los estados | m 1 , m 2 〉 estan debidamente normalizados asi que:Usando lo anterior:〈m 1 , m 2 | m 1 , m 2 〉 = 1〈m 1 , m 2 | P (12) P (12) | m 1 , m 2 〉 = 1(〈m 1 , m 2 | P † (12) )(P (12) | m 1 , m 2 〉) = 1(〈m 1 , m 2 | P † (12) ) | m 2, m 1 〉 = 1Para que este producto se mantenga con el valoro 1, se debe cumplir que:〈m 1 , m 2 | P † (12) = 〈m 2, m 1 |123
y, entonces:P † (12) = P (12)esto, era lo pedido. b) Podemos suponer un autoestado de P (12) con autovalor λ, es decir:P (12) | v〉 = λ | v〉si aplicamos el operador dos veces a este autoestado particular obtenemos:P (12) P (12) | v〉 = P (12) λ | v〉y usando lo anterior (ya demostrado):I | v〉 = λP (12) | v〉 = λ 2 | v〉que era lo pedido→ λ 2 = 1 → λ = ±1c) Aqui procedemos con calculo directo:P (12) S 2 1 | m 1 , m 2 〉 = m 1 (m 1 + 1) 2 | m 2 , m 1 〉Para (S T ) 2 , tendremos que:de modo que:P (12) S 2 2 | m 1 , m 2 〉 = m 2 (m 2 + 1) 2 | m 2 , m 1 〉(S T ) 2 = S 2 1 + S 2 2 + 2S 1 S 2P (12) (S T ) 2 | m 1 , m 2 〉 = P (12) (S 2 1 + S 2 2 + 2S 1 S 2 ) | m 1 , m 2 〉= (m 1 (m 1 + 1) 2 + m 2 (m 2 + 1) 2 + 2 √ m 1 (m 1 + 1)m 2 (m 2 + 1) 2 | m 2 , m 1 〉d) En el caso que manipulemos una dos spines 1/2 combinados, obtendremos:| m 1 , m 2 〉 = 1 √2(| 1/2 − 1/2〉± | −1/2, 1/2〉)donde S 1 · S 2 (operador) actúa sobre un singlete dando:cuando actúa sobre un triplete , obtenemos:De este modo, cuando tenemos:−3 24 24[I + 4 2 ⃗ S (1) · ⃗S (2) ]P (12) = 1 2124
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5.1.2 Problema 2Considere un sistema de dos spines 1/2. El operador P(12) s que produce el intercambio de estados de spin delas dos partículas en el espacio producto H S = H (1)S⊗ H(2) Spuede ser definido a través de su acción sobrela base de autoestados| m 1 , m 2 〉 =| m 1 〉 (1) | m 2 〉 (2) rotulados por los autovalores de los operadores de spin( S ⃗(1) ) 2 , ( S ⃗(2) ) 2 , S z (1) , S z(2) correspondientes a los spines (1) y (2), respectivamente.P S (12) | m 1, m 2 〉 ≡| m 2 , m 1 〉Este operador se <strong>con</strong>oce <strong>con</strong> el nombre de operador de intercambio de spin. Por simplicidad lo denotaremospor P (12) . Muestre que se cumple lo siguiente:a) P −1(12) = P † (12) = P (12)b) Los autovales de P (2) solamente pueden valer ±1.c) Los autoestados simultáneos de( S ⃗(1) ) 2 , ( S ⃗(2) ) 2 , S ⃗ T 2 = (⃗ S 1 + S ⃗ 2 ) 2 y S T z también son autoestados del operadorde intercambio de spin.d) Trabajando en el espacio de Hilbert producto tensorial de los dos espacios de spin 1/2, muestre que elsiguiente operadorP (12) = 1 [I + 4 ]2 ⃗ 2 S (1) · ⃗S (2)efectivamente representa un operador de intercambio de spin, esot esP (12) | m 1 , m 2 〉 =| m 1 , m 2 〉Solucióna) Sabemos que:y si volvemos a aplicar el operador tendremos:de modo que obtenemos:P (12) | m 1 , m 2 〉 ≡| m 2 , m 1 〉P (12) P (12) | m 1 , m 2 〉 = P (12) | m 2 , m 1 〉= | m 1 , m 2 〉P (12) P (12) = I → P (12) = P −1(12)Además los estados | m 1 , m 2 〉 estan debidamente normalizados asi que:Usando lo anterior:〈m 1 , m 2 | m 1 , m 2 〉 = 1〈m 1 , m 2 | P (12) P (12) | m 1 , m 2 〉 = 1(〈m 1 , m 2 | P † (12) )(P (12) | m 1 , m 2 〉) = 1(〈m 1 , m 2 | P † (12) ) | m 2, m 1 〉 = 1Para que este producto se mantenga <strong>con</strong> el valoro 1, se debe cumplir que:〈m 1 , m 2 | P † (12) = 〈m 2, m 1 |123
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