Libro con resumenes y ejercicios resueltos

considerando:k =√2mE 2 y E n = 2 π 2 n 22m(2c) 2Si incluimos el spin, la función de onda total será( ) 1ψ n−up = φ(x)0( ) 0ψ n−down = φ(x)1Como en este caso particular tenemos dos partículas con spin 1/2 , la función de onda resultante debe serantisimétrica.Por otra parte, el acoplamiendo de dos spines 1/2 nos da como resultadoCuando tomamos la antisimetrización, obtenemos:triplete → X t || singlete → X sΨ n,mt = (φ n (x 1 )φ m (x 2 ) − φ n (x 2 )φ m (x 1 ))X tΨ n,ms = (φ n (x 1 )φ m (x 2 ) + φ n (x 2 )φ m (x 1 ))X sAnalicemos primero el caso n=m=1, para encontrar las funciones de onda normalizadas para las dos particulasde menor energía. Obtenemos:Ψ 1,11s = φ 1 (x 1 )φ 1 (x 2 ) · √ (| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉− | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)2Ψ 1,1t = 0el triplete se anula. Además, la energía estará dada porAhora para el caso n=1 m=2 tenemos:E 1,1 = (1 2 + 1 2 )E 1 = 2E 1Ψ 1,21s = (φ 2 (x 1 )φ 2 (x 2 ) + φ 1 (x 2 )φ 2 (x 1 )) · √ (| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉− | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)2Considerando el caso del triplete, no se anula como vimos anteriormente, de modo que generamos 3 estados,siendo estos:⎡⎤| 1/2, 1/2〉Ψ 1,2t = (φ 2 (x 1 )φ 2 (x 2 ) − φ 1 (x 2 )φ 2 (x 1 )) × ⎣ | 1/2, −1/2〉 | 1/2, −1/2〉⎦1√2(| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉+ | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)caso en que la energía es:E 1,2 = (1 2 + 2 2 )E 1 = 5E 1Finalmente analizamos cuando n=m=2. Solo tendremos la función de onda del singlete que está dada por:con la respectiva energía:Ψ 2,2s = φ 2 (x 1 )φ 2 (x 2 ) 1 √2(| 1/2, 1/2〉 | 1/2, −1/2〉− | 1/2, −1/2〉 | 1/2, 1/2〉)E 2,2 = (2 2 + 2 2 )E 1E 2,2 = 8E 1122