Libro con resumenes y ejercicios resueltos

Esto se simplifica , eliminando términos, a:∑∫jψ ∗ k 1( ⃗Pj δ(⃗r − ⃗r j )2m+ δ(⃗r − ⃗r j) ⃗ P j2m− δ(⃗r − ⃗r j ) e mc ⃗ A⃗r)ψ k2 d 3 r 1 ...d 3 r nProcedemos a meter la sumatoria en la integral, con lo que se obtiene:=∫ψ ∗ k 1(⃗ j(⃗r) −e A(⃗r)ρ(⃗r)mc ⃗ )ψ k2 d 3 r 1 ...d 3 r n= 〈k 1 | ⃗ J|k 2 〉de modo que se tiene:〈k ′ 1| ⃗ J ′ |k ′ 2〉 = 〈k 1 | ⃗ J|k 2 〉Resolvemos la parte b)tenemos:luego, calculando la derivada parcial temporal:ρ(⃗r, t) = e iHt ρ(⃗r)e− iHt∂ρ(⃗r, t)∂t= iH ( e iHt ρ(⃗r)e− iHt += e iHt( iH ρ(⃗r) − ρ(⃗r)iH )e iHt ρ(⃗r)e− iHt)e − iHt− iH = i e iHtPor otro lado, sabemos como es H. Tiene la forma:[H, ρ(⃗r)] e− iHtH = ∑ i⃗P 2 i2m −e2mc ( ⃗ P i · ⃗A + ⃗ A · ⃗P i ) +e22mc 2 ⃗ A 2 + eφ + VLuego, desarrollando el conmutador, obtenemos:[H, ρ(⃗r)] = ∑ i12m [ P ⃗ i 2 , ρ(⃗r)] −e2mc [ P ⃗ i · ⃗A + A ⃗ · ⃗P i , ρ(⃗r)]Ahora debemos ir por partes para no rellenar de cosas que no se entienden. En primer lugar, terminaremos dedesarrollar este conmutador pero por partes:[⃗P 2i , ρ(⃗r)]= − 2 [ ∇ 2 (δ(⃗r − ⃗r i )) − 2 ⃗ ∇(δ(⃗r − ⃗r i )) · ⃗∇ i]120