Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
4.2.4 Problema 4a) Muestre que los elementos de matriz del operador de corrienteson invariantes de gauge.b) Muestre que en cuadro de Heisenberg se cumpleSolucióna) Tenemos entonces que:⃗J(⃗r) = ⃗j(⃗r) − e mc ⃗ A(⃗r)ρ(⃗r) (699)∂ρ(⃗r, t)∂t+ ⃗ ∇ · ⃗J(⃗r, t) = 0 (700)⃗J(⃗r) = ⃗j(⃗r) − e A(⃗r)ρ(⃗r)mc ⃗⃗J(⃗r) = ∑ ( ⃗Pi2m δ(⃗r − ⃗r i) + δ(⃗r − ⃗r i ) ⃗ )P i2m − e A(⃗r)δ(⃗rmc ⃗ − ⃗r i )iLo que buscamos demostrar es que es invariante de gauge, es decir:Entonces, se tiene:〈k ′ 1| ⃗ J ′ (⃗r)|k ′ 2〉 =〈k 1 | ⃗ J(⃗r)|k 2 〉 = 〈k ′ 1| ⃗ J ′ (⃗r)|k ′ 2〉∫ψ ∗ k 1(⃗r 1 , ..., ⃗r n ) ⃗ J ′ (⃗r)ψ ′ k 2(⃗r 1 , .., ⃗r n )d 3 r 1 ..d 3 r ny esto se iguala a:∑∫j(e − ie ∑⃗Pjc i ε(⃗ri) ψk ∗ 12m δ(⃗r − ⃗r j) + δ(⃗r − ⃗r j)P2m ⃗ j − e Amc ⃗′ (⃗r)δ(⃗r − ⃗r j )Luego, tenemos que considerar lo siguiente (el efecto del momentum):)e ie ∑c i ε(⃗ri) ψ k ′2d 3 r 1 ...d 3 r n⃗P j (F (⃗r j )e iec∑i ε(⃗ri) ) = i∇ ⃗ j(F (⃗r j )e iec∑i ε(⃗ri))[= −i e iec∑i ε(⃗ri) ∇j ⃗ (F (⃗r j )) + F (⃗r i ) ∇ ⃗ j e iec∑i ε(⃗ri)]Entonces, obtenemos para nuestro resultado anterior:= e ie ∑ [c i ε(⃗ri) Pj ⃗ (F (⃗r j )) + e ∇c ⃗ j ε(⃗r i )F (⃗r i )]∑∫j[ ⃗Pje − iec∑i ε(⃗ri) ψk ∗ 1e iec∑i ε(⃗ri) δ(⃗r − ⃗r j )+ δ(⃗r − ⃗r j)e( ∇ ⃗ i ε(⃗r i ))2m2mc]+ e2mc δ(⃗r − ⃗r j) ∇ ⃗ j ε i − δ(⃗r − ⃗r j ) e A(⃗r)mc ⃗ − e ∇ε(⃗r)δ(⃗rmc ⃗ − ⃗r j )+ δ(⃗r − ⃗r j) P ⃗ j2mψ k2 d 3 r 1 ...d 3 r n119
Esto se simplifica , eliminando términos, a:∑∫jψ ∗ k 1( ⃗Pj δ(⃗r − ⃗r j )2m+ δ(⃗r − ⃗r j) ⃗ P j2m− δ(⃗r − ⃗r j ) e mc ⃗ A⃗r)ψ k2 d 3 r 1 ...d 3 r nProcedemos a meter la sumatoria en la integral, con lo que se obtiene:=∫ψ ∗ k 1(⃗ j(⃗r) −e A(⃗r)ρ(⃗r)mc ⃗ )ψ k2 d 3 r 1 ...d 3 r n= 〈k 1 | ⃗ J|k 2 〉de modo que se tiene:〈k ′ 1| ⃗ J ′ |k ′ 2〉 = 〈k 1 | ⃗ J|k 2 〉Resolvemos la parte b)tenemos:luego, calculando la derivada parcial temporal:ρ(⃗r, t) = e iHt ρ(⃗r)e− iHt∂ρ(⃗r, t)∂t= iH ( e iHt ρ(⃗r)e− iHt += e iHt( iH ρ(⃗r) − ρ(⃗r)iH )e iHt ρ(⃗r)e− iHt)e − iHt− iH = i e iHtPor otro lado, sabemos como es H. Tiene la forma:[H, ρ(⃗r)] e− iHtH = ∑ i⃗P 2 i2m −e2mc ( ⃗ P i · ⃗A + ⃗ A · ⃗P i ) +e22mc 2 ⃗ A 2 + eφ + VLuego, desarrollando el conmutador, obtenemos:[H, ρ(⃗r)] = ∑ i12m [ P ⃗ i 2 , ρ(⃗r)] −e2mc [ P ⃗ i · ⃗A + A ⃗ · ⃗P i , ρ(⃗r)]Ahora debemos ir por partes para no rellenar de cosas que no se entienden. En primer lugar, terminaremos dedesarrollar este conmutador pero por partes:[⃗P 2i , ρ(⃗r)]= − 2 [ ∇ 2 (δ(⃗r − ⃗r i )) − 2 ⃗ ∇(δ(⃗r − ⃗r i )) · ⃗∇ i]120
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- Page 73 and 74: Así que tenemos:〈nljm|H K |nljm
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4.2.4 Problema 4a) Muestre que los elementos de matriz del operador de corrienteson invariantes de gauge.b) Muestre que en cuadro de Heisenberg se cumpleSolucióna) Tenemos entonces que:⃗J(⃗r) = ⃗j(⃗r) − e mc ⃗ A(⃗r)ρ(⃗r) (699)∂ρ(⃗r, t)∂t+ ⃗ ∇ · ⃗J(⃗r, t) = 0 (700)⃗J(⃗r) = ⃗j(⃗r) − e A(⃗r)ρ(⃗r)mc ⃗⃗J(⃗r) = ∑ ( ⃗Pi2m δ(⃗r − ⃗r i) + δ(⃗r − ⃗r i ) ⃗ )P i2m − e A(⃗r)δ(⃗rmc ⃗ − ⃗r i )iLo que buscamos demostrar es que es invariante de gauge, es decir:Entonces, se tiene:〈k ′ 1| ⃗ J ′ (⃗r)|k ′ 2〉 =〈k 1 | ⃗ J(⃗r)|k 2 〉 = 〈k ′ 1| ⃗ J ′ (⃗r)|k ′ 2〉∫ψ ∗ k 1(⃗r 1 , ..., ⃗r n ) ⃗ J ′ (⃗r)ψ ′ k 2(⃗r 1 , .., ⃗r n )d 3 r 1 ..d 3 r ny esto se iguala a:∑∫j(e − ie ∑⃗Pjc i ε(⃗ri) ψk ∗ 12m δ(⃗r − ⃗r j) + δ(⃗r − ⃗r j)P2m ⃗ j − e Amc ⃗′ (⃗r)δ(⃗r − ⃗r j )Luego, tenemos que <strong>con</strong>siderar lo siguiente (el efecto del momentum):)e ie ∑c i ε(⃗ri) ψ k ′2d 3 r 1 ...d 3 r n⃗P j (F (⃗r j )e iec∑i ε(⃗ri) ) = i∇ ⃗ j(F (⃗r j )e iec∑i ε(⃗ri))[= −i e iec∑i ε(⃗ri) ∇j ⃗ (F (⃗r j )) + F (⃗r i ) ∇ ⃗ j e iec∑i ε(⃗ri)]Entonces, obtenemos para nuestro resultado anterior:= e ie ∑ [c i ε(⃗ri) Pj ⃗ (F (⃗r j )) + e ∇c ⃗ j ε(⃗r i )F (⃗r i )]∑∫j[ ⃗Pje − iec∑i ε(⃗ri) ψk ∗ 1e iec∑i ε(⃗ri) δ(⃗r − ⃗r j )+ δ(⃗r − ⃗r j)e( ∇ ⃗ i ε(⃗r i ))2m2mc]+ e2mc δ(⃗r − ⃗r j) ∇ ⃗ j ε i − δ(⃗r − ⃗r j ) e A(⃗r)mc ⃗ − e ∇ε(⃗r)δ(⃗rmc ⃗ − ⃗r j )+ δ(⃗r − ⃗r j) P ⃗ j2mψ k2 d 3 r 1 ...d 3 r n119
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