Libro con resumenes y ejercicios resueltos

( ) 2πc2 1/2⃗A ⃗k, ⃗ λ|N k1,λ 1, N k2,λ 2, ...N kλ ...〉 =λ √ N kλ |N k1λω1...N kλ − 1...〉( )⃗A † 2πc2 1/2⃗ k, ⃗|N k1,λ λ 1, N k2,λ 2, ...N kλ ...〉 =λ √ N kλ + 1|N k1λω1...N kλ + 1...〉Calculo de conmutadores:Para demostrar esto, Consideramos:[⃗A (op)⃗ k, ⃗ λ, ⃗ A (op)⃗ k ′ , ⃗ λ ′ ]= 0Entonces tenemos:[A kλ , ⃗ A k ′ λ ′]|..., N kλ...〉 = |N kλ 〉 × .. × [ ⃗ A kλ , ⃗ A k ′ λ ′]|N kλ〉 × ...√⃗A kλAk ⃗ ′ λ ′|N kλ〉 − A ⃗ k⃗ 2πc2 N kλ′ λ ′ Akλ |N kλ 〉 ={ω⃗ λA kλ |N kλ − 1〉 − ⃗ λA k′ λ ′|N kλ − 1〉}= 2πc2 √Nkλ (N kλ − 1){ω⃗ λ · ⃗λ|N kλ − 1〉 − ⃗ λ · ⃗λ|N kλ − 1〉}= 0Calculemos el segundo conmutador (Notemos que esto está actuando sobre el ket apropiado, pero solo nosenfocamos en los operadores, sería incorrecto pensar que podemos resolver el conmutador por si mismo):[ A ⃗† kλ , A ⃗† k ′ λ] ′ = A ⃗† ⃗ kλA † k ′ λ− A ⃗† † ⃗ ′ k ′ λ ′ Akλ †= ( A ⃗ k⃗ ′ λ ′ Akλ ) † − ( A ⃗ kλAk ⃗ ′ λ ′)†= [ A ⃗ kλAk ⃗ ′ λ ′ − A ⃗ k⃗ ′ λ ′ Akλ ] †= −([ A ⃗ kλ , A ⃗ k′ λ ′])= 0y finalmente queremos demostrar:Para ello, tenemos:[⃗A (op)⃗ k, ⃗, ⃗ ]A (op)†λ ⃗ k′ , ⃗ = 2πcλ ′ k δ3 ⃗ ⃗ k, ⃗ k ′λ · ⃗λ ′∗ (689)[⃗A (op)⃗ k, ⃗, ⃗ ]A (op)†λ ⃗ k′ , ⃗ |N k1λλ 1...N ′ kλ ...〉 = A kλ A † k ′ λ|N ′ kλ − A † k ′ λA ′ kλ |N kλ 〉= 2πc2ω λ · λ′ [(N kλ + 1)|N kλ 〉 − N kλ |N kλ 〉]= 2πc2ω λ · λ′ |N kλ 〉112