Libro con resumenes y ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ... Ejercicios resueltos(N. Perez) - Pontificia Universidad Católica de ...
átomo pasa de m j → m j + 1; viceversa, demuestre que si se emite un fotón, entonces m j → m j − 1; asimismo,si el átomo se encontraba en el estado |j, m j = j〉, al absorber un fotón de helicidad positiva pasa al estadoj + 1, m j = j + 1〉Solucióna) El Hamiltoniano H int para las interacciones Spin-CampoMagnético(CA) y Materia-CA estará dado porPodemos reescribir esto, considerando:H int/SB = −µ ⃗ B · ⃗B (681)H int/MB = − e mc ⃗ P · ⃗A (682)µ spin ⃗ = − ge S2m e c ⃗Además, sabemos que B ⃗ = ∇ ⃗ × A, ⃗ en donde:⎧ ⎫⃗A = ∑ ⎨ ⃗A ⃗k ⃗ √Vλ⃗ λei( ⃗ A †⃗ ⃗k·⃗r−ωt) + k ⃗ ⎬√ λ ⃗ λ ⋆ e −i(⃗ k·⃗r−ωt)⎩⃗ k ⃗ V ⎭λPor otro lado, para una onda plana se cumple lo siguiente:Donde hemos utilizado identidades del rotor. Además:El campo magnético queda dado finalmente por:Y el Hamiltoniano queda como:⃗∇e −i(⃗ k·⃗r−ωt) = −i ⃗ ke −i(⃗ k·⃗r−ωt)| ⃗ k × ⃗ λ |= kλ| ⃗ B | = kA (683)| H int/SB | ≈ eBSmc= ekASmc= ekA2mc(684)Aqui ha sido utilizado g = 2 y ha sido transformado ⃗ S según:⃗S = 2 ⃗σBuscamos relaciones entre módulos, ya que buscamos una relación numérica, pero no buscamos específicamenteel valor de los H.Si analizamos H int/MB :H int/MB = − e mc ⃗ P · ⃗AAnalicemos ahora, el caso del autoestado | 1S〉 del átomo de Hidrógeno; Conocemos la siguiente relación:⃗∇ϕ 1s = − 1 a 0ϕ 1sˆr109
De modo que nos es posible escribir:Y podremos hallar una expresión para H int/MB .⃗P = i ⃗ ∇ =ia 0ˆrH int/MB = − e mc ⃗ P · ⃗A→ H int/MB = − e ˆr ·mc ia ⃗A0Entonces, podemos mezclar las ecuaciones anteriores y obtendremos:⇒| H int/MB |= e A (685)mc a 0ekA| H int/SB || H int/MB | ≈ 2mce mc a 0A| H int/SB || H int/MB | ≈ ka 02(686)Si escogemos λ = 3000 ˙ A,(k = 2π/λ).| H int/SB |≈ 5, 5 × 10−4| H int/MB |Queda demostrado.b) Queremos demostrar la posibilidad de una cierta transición en la condición del enunciado. Para ello, demostraremosla no nulidad de los elementos de matrizUtilizamos ahora la aproximación dipolar:〈n | ⃗ λ · ⃗J | m〉 (687)〈n | ⃗ λ · ⃗J | m〉 = −λω〈n | ⃗ λ · ⃗r | m〉Tomando en cuenta que la onda viaja en la dirección ẑ, los estados de polarización circular arrojan:⃗λ 1 = (î + iĵ) √ 12⃗λ 2 = (î − iĵ) √ 12En primer lugar, estudiaremos el proceso de absorción: Como la helicidad es positiva, utilizaremos ⃗ λ 1 .Usemos este elemento de matriz en coordenadas esféricas, es decir:⃗r = (rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)Entonces−λω〈n | ⃗ λ · ⃗r | m〉 = −λω〈n | (î + iĵ) 1 √2 · ⃗r | m〉110
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De modo que nos es posible escribir:Y podremos hallar una expresión para H int/MB .⃗P = i ⃗ ∇ =ia 0ˆrH int/MB = − e mc ⃗ P · ⃗A→ H int/MB = − e ˆr ·mc ia ⃗A0Entonces, podemos mezclar las ecuaciones anteriores y obtendremos:⇒| H int/MB |= e A (685)mc a 0ekA| H int/SB || H int/MB | ≈ 2mce mc a 0A| H int/SB || H int/MB | ≈ ka 02(686)Si escogemos λ = 3000 ˙ A,(k = 2π/λ).| H int/SB |≈ 5, 5 × 10−4| H int/MB |Queda demostrado.b) Queremos demostrar la posibilidad de una cierta transición en la <strong>con</strong>dición del enunciado. Para ello, demostraremosla no nulidad de los elementos de matrizUtilizamos ahora la aproximación dipolar:〈n | ⃗ λ · ⃗J | m〉 (687)〈n | ⃗ λ · ⃗J | m〉 = −λω〈n | ⃗ λ · ⃗r | m〉Tomando en cuenta que la onda viaja en la dirección ẑ, los estados de polarización circular arrojan:⃗λ 1 = (î + iĵ) √ 12⃗λ 2 = (î − iĵ) √ 12En primer lugar, estudiaremos el proceso de absorción: Como la helicidad es positiva, utilizaremos ⃗ λ 1 .Usemos este elemento de matriz en coordenadas esféricas, es decir:⃗r = (rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)Entonces−λω〈n | ⃗ λ · ⃗r | m〉 = −λω〈n | (î + iĵ) 1 √2 · ⃗r | m〉110
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