Libro con resumenes y ejercicios resueltos

2 Aproximación WKB2.1 Problemas Resueltos2.1.1 Problema 1Un oscilador armónico unidimensional truncado viene descrito por el potencial:{1V (x) 2 mω2 (x 2 − b 2 ) si |x| < b0 si |x| > b(669)(a) Use la aproximación WKB para estimar las energías de los estados ligados.(b) Encuentre la condición para que exista solamente un estado ligado. Esta condición ha de depender dem, ω y b.SoluciónLo que tenemos aquí es el problema de un oscilador truncado. En este problema, vemos que existen tres zonasen las que se divide el potencial. Para las zonas x > b y x < −b, se tiene que el potencial es cero. Pero enla zona −b < x < b se tiene un potencial determinado. Dependiendo de la cantidad de energía que tenga eloscilador, veremos como se comporta y cuáles son los valores de energía. Sabemos que existe un punto en elque el oscilador “se devuelve”; Este punto es el determinado punto de retorno y sabemos de su existencia porlas características del problema (El hecho de que sea un oscilador).Lo que tenemos entonces es lo siguiente:Entonces, se cumple lo siguiente:∫ x0−x 0p(x)dx =p(x) =(n + 1 )π2√2m 2(E − V (x))∫ x0√2m(n−x 0 2 (E − V (x))dx = + 1 2) (dx = n + 1 2∫ x0−x 0√2m 2 (E − 1 2 mω2 (x 2 − b 2 ))π)πAhora, lo que nosotros sabemos es que cuando x = x 0 , E = V , de modo que puedo escribir E en función de elpunto de retorno x 0E(x 0 ) = V (x 0 ) = 1 2 mω2 (x 2 0 − b 2 ) (670)Con esto, la ecuación anterior se transforma en:∫√x0(2m 1−x 0 2 2 mω2 (x 2 0 − b2 ) − 1 ) (2 mω2 (x 2 − b 2 ) dx = n + 1 )π2102