Libro con resumenes y ejercicios resueltos

SolucionesProblema 1: Para rotaciones que actúan sobre spinores, sabemos que:U(θ) = e − i 2 ⃗σ·ˆnθ (64)donde ˆn es la dirección del eje de rotación. En este caso, ˆn = ˆx, con lo que obtenemos de la ecuaciónanterior:U(θ) = e − i σx θ 2 (65)Pero como vimos en la ayudantía anterior, esto puede ser expandido de la forma siguiente:θU(θ) = 1 − iσ x2 + 1 ( ) 2θ−iσ x + ... (66)2! 2Ahora, podemos simplificar esta ecuación simplemente considerando las siguientes igualdades:σ 2 x = σ 4 x = ... = 1 (67)σ 3 x = σ x (68)Luego, es muy sencillo separar esto y obtener la simplificación correspondiente:( θ2) 2+ 1 4!( θ2U(θ) = 1 − 1 2(θ− iσ x2 + 1 ( ) 3 θ+ ...)3! 2) 4− ... (69)Luego, es evidente el resultado:U(θ) = cos θ 2 − iσ xsin θ 2(70)(b) Considerando el estado inicial (10) T , autoestado spin up del operador S z . El estado rotado es:|ξ + 〉 θ = e −i 2(σx θ 10)(71)Luego, tenemos que:|ξ + 〉 θ =(cos θ 2 − iσ xsin θ ) ( 12 0)(72)El estado queda dado por:|ξ + 〉 θ =( cosθ2−isin θ 2Entonces, las probabilidades de medir ± 2 según el nuevo eje z′ están dadas por:)(73)P + = cos 2 θ 2¿Cómo calculamos el valor de expectación de S z ′P − = sin 2 θ 2entre estados originales:(74)S z ′ = e i 2 σxθ S z e − i 2 σxθ (75)9