Guía 3 de Ejercicios

Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de FísicaQM II - FIS1533Guía 3 de EjerciciosProfesor: Max BañadosAyudante : Nicolás Pérez (nrperez@uc.cl)Facultad de Física UCTeoría de Perturbaciones independiente del tiempo1. Un oscilador armónico simple de una dimensión es sujeto a una pequeña perturbación al potencia δV (x),produciendo un “agujero” en el centro del movimiento. Entonces:H = P 22m + 1 2 mω2 x 2 λ+x 2 + a 2 = P 22m + V + δVCalcule la corrección a la energía del ground state del oscilador al primer orden en λ en el evento que:(a) a > √ /mω2. Considere el HamiltonianoH = H 0 + λH ′donde:H 0 =( )E1 00 E 2H ′ =( 0 ia−ia 0)(a) Resuelva los autoestados y autofunciones exacta(b) Resuelva ambos autovalores y autofunciones a segundo orden usando teoría de perturbaciones3. Una partícula de masa m se mueve en un potencial:Estime la energía del ground state. Hint:V = 1 2 k|x|2+ɛ |ɛ| < 1También:donde12 k|x|2+ɛ = 1 2 kx2 − 1 2 k(x2 − |x| 2+ɛ ) ≈ 1 2 kx2 + ɛ 2 kx2 ln|x|∫ ∞0e −αx2 x 2 lnxdx =√ π4 a−3/2 [1 − 1 2 (c + ln4a) ]c = 0.577216... = Constante de Euler1

4. Considere un oscilador armónico isotrópico en dos dimensiones. El hamiltoniano está dado por:H 0 = p2 x2m + p2 y2m + mω22 (x2 + y 2 )• ¿Cuáles son las energías de los 3 menores estados? Existe alguna degeneración?• Ahora aplicamos la perturbaciónV = δmω 2 xydonde δ es un número real sin dimension mucho menor que la unidad. Encuentre el eigenket a ordencero y la correspondiente energia a primer orden (esto es, la energía sin perturbar obtenida antes más el shift de energía a primerorden) para cada uno de los tres menores estados (three lowest-lying states).• Resuelva H 0 + V exactamente. Compare con los resultados perturbativos obtenidos en (b) [Ustedpodría usar 〈n ′ |x|n〉 = √ /2mω( √ n + 1δ n ′ ,n+1 + √ nδ n ′ ,n−1)]5. Para una partícula de masa m moviéndose en el potencial:(a) Encuentre los niveles de energía exactosV = 1 2 k 1x 2 + 2 2 k 1x 2 + λxy |k 1 − k 2 | > 2λ (1)(b) Use teoría de perturbaciones para encontrar a orden λ 2 la energía de todos los niveles y compare conla solución exacta a este orden.6. Interacción de SpinConsidere una partícula de spin 1/2 que está ligada a un oscilador armónico tridimensional con frecuenciaω. El ground state del Hamiltoniano H 0 y la interacción de spin son:H = H 0 + H ′ (2)H 0 = p22m + 1 2 mω2 r 2 (3)H ′ = λ⃗r · ⃗σ (4)donde λ es una constante y σ = (σ x , σ y , σ z ) son las matrices de Pauli. Omita la interacción spin-órbita.Use teoría de perturbaciones para calcular el cambio en la energía del groundstate a orden O(λ 2 )7. Teorema del VirialSeaĤ =N∑i=1[ ]⃗p2i+ V i (⃗r i ) + 1 2M i 2∑W ij (⃗r i − ⃗r j ) (5)i≠jEl hamiltoniano de un sistema de N partículas, y ψ g s(⃗r 1 , ⃗r 2 , ..., ⃗r N ) el estado fundamental asociado.Considere la siguiente familia de funciones:{ψ(λ) = ψ gs (λ⃗r 1 , λ⃗r 2 , ...λ⃗r N ) ∣ ∣ λɛR} (6)2

Evalúe 〈Ĥ〉 λ y minimice respecto a λ. Pruebe que se cumple el siguiente resultado exacto:〈∑ N〉 〈⃗p 2 i= E kin = 1 N〉∑Ṽ i (⃗r i ) + 1 ∑˜W ij (⃗r i − ⃗r j )2M i 22i=1i=1i≠j(7)Con:Ṽ i (⃗x) = ⃗x · ∇V i (⃗x) (8)˜W ij (⃗x) = ⃗x · ∇W ij (⃗x) (9)8. Electrones interactuantesConsidere dos electrones unidos a un protón por interacción de Coulomb. Desprecie la repulsión coulombianaentre los dos electrones.• ¿Cuáles son la energía de ground state y la función de onda para este sistema?• Considere un potencial débil que existe entre los dos electrones de la forma:V (⃗r 1 − ⃗r 2 ) = V 0 δ 3 (⃗r 1 − ⃗r 2 )⃗s 1 · ⃗s 2 (10)donde V 0 es una constante y ⃗s j es el operador spin para el electrón j (desprecie la interacción spinórbita). Use teoría de perturbaciones para estimar como este potencial altera la energía del groundstate.3