revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©“La lógica se ocupa del mundo real tan verdaderamente como la zoología, aunquede sus rasgos más abstractos y generales”Por el contrario, el intuicionismo, lejos de reducir la matemática a la lógica, consideraesta como una elaboración posterior. Para la matemática intuicionista, el mundo exteriorno es sino ocasión o aplicación.2.4.3. Comparación con el Formalismo.Para los formalistas, la matemática empieza en los símbolos, en el papel. En suaspecto esencial la matemática se identifica con la ciencia de los sistemas formales: Elformalista desea como definición de la actividad matemática algo claro, bien definido ybien cortado.El intuicionista aplica su intuición, elabora con cierta imprecisión y oscuridad lanoción de número natural y luego finalmente empieza su actividad. El intuicionista esimpreciso y oscuro en sus primeras actividades todavía prematemáticas, pero nuncaarbitrario. Busca lo que haya y descubre lo que encuentre en su actividad constructiva.3-. INDECIBILIDAD. TEOREMAS DE GÖDEL.Gödel (1906-1978) había dado a conocer poco antes lo que hasido calificado como el resultado más decisivo de la lógica matemáticamoderna. Gödel demuestra por un procedimiento de carácterconstructivo (es decir, no meramente existencial), que en ciertossistemas (más concretamente, en el cálculo restringido de las funcionesproposicionales) hay aserciones que no pueden ser demostradas oimpugnadas.Utilizando un procedimiento original Gödel construye un teorema verdadero y tal queuna demostración formal del mismo conduce a contradicción. El procedimiento de Gödelconsiste en sustituir los símbolos del cálculo de proposiciones por los símbolos de losnúmeros enteros, resultando así un algoritmo numérico que aplicado a los teoremas de laAritmética conduce a un círculo vicioso.Gödel ha obtenido resultados aun más generales de los cuales resulta laimposibilidad de demostrar la consistencia en ninguna teoría formal que comprenda la delos números naturales mediante un procedimiento cualquiera susceptible de serexpresado en términos de dicha teoría. La conclusión de Gödel, que ha valido a éste unacita obligada en todos los escritos recientes sobre lógica matemática, invalida elpropósito principal de la obra de Hilbert, de tal modo que la compatibilidad de laAritmética está todavía por demostrarse.Teorema de incompletitud de Gödel. No existe ningún algoritmo cuya salida contengatodos los enunciados verdaderos de la aritmética y ninguno falso.Si una teoría formal axiomatizable T, que incluya la Aritmética, es consistente, entonces Tes incompleto (ie, existe una afirmación S tal que ni “S” ni “No S” son teoremas de T. Portanto, la proposición P= “o bien S o bien no S” es verdadera pero indemostrable.119