revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©2.4-. El intuicionismo.Las aspiraciones de los logicistas y formalistas fueron vigorosamente combatidaspor Poincaré, Borel, Lebesgue, Klein, Enriques y otros distinguidos matemáticos de laescuela intuicionista. Aunque en general la filosofía kantiana no tiene más que interéshistórico en la matemática actual, debe, sin embargo, hacerse remontar a Kant el origende la tendencia intuicionista puesto que se admite en ella la subjetividad de losfundamentos de la Matemática. Aunque ninguno de ellos formulará una filosofía coherentede las matemáticas, sí que pondrán a debate algunos conceptos básicos, que encontraremos en la raíz del intuicionismo matemático. En primer lugar la clara distinción entrelógica y matemáticas (en abierta oposición a Russell): Si las matemáticas están enlazadascon la realidad, el papel de la lógica se reduce a proporcionar un número ilimitado deposibilidades entre las que elegir. En segundo lugar la existencia de los objetosmatemáticos: no aceptan que la consistencia sea un requisito suficiente (aunque sínecesario) de la existencia; no obstante, tampoco definen con claridad cuál debiera ser lacondición de suficienciaLos intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia existen ciertasnociones y proposiciones provenientes de la intuición (intelectual), e irreductibles a laLógica. Tales son la intuición de la iteración o aptitud de nuestra mente para concebir larepetición indefinida de los actos del pensamiento, y el llamado principio de induccióncompleta, considerado por Poincaré como un juicio sintético a priori (“La Science etl’Hypothese”, cap. I), de carácter matemático, no demostrable experimentalmente ni porprocedimientos lógicos.Otra objeción que ponen los intuicionistas a diversas partes de la matemática, esque no se dan reglas o criterios constructivos para determinar, en un número finito depasos, los objetos que se manejan. Por ejemplo, Poincaré rechazaba los conceptos queno se pueden definir con un número finito de palabras: con el axioma de elección en lateoría de conjuntos (“si X es una colección arbitraria de conjuntos {A, B, C…}, no vacíos,existe un conjunto formado por un elemento tomado de cada uno de los conjuntos A,B,…”) surgen problemas sobre su validez al considerar X como colección infinita.Para los intuicionistas, la Matemática es una libre creación del hombre, el cual nodescubre sino crea la Matemática. No se desestima el papel de la Lógica comolegitimadora del razonamiento matemático pero es impotente ella sola para establecer lacompatibilidad de los axiomas fundamentales y para llegar a las generalizaciones yabstracciones que caracterizan a la Matemática actual.Brouwer, fundador del Intuicionismo con su obra “Sobrelos fundamentos de las matemáticas” (1907), estableció el principiode construcción o de constructibilidad, que es el principio básico delintuicionismo matemático: la matemática es el estudio de un ciertotipo matemático de construcción mental; no pueden existirmatemáticas, si no han sido construidas intuitivamente. Brouwerdefiende que las matemáticas son una li bre creación mental, desarrollada a partir de unaintuición primordial (la del tiempo) e independiente de la experiencia; cualquierconstrucción lógica de las matemáticas conduce a una construcción lingüística que nuncapodrá identificarse con las matemáticas reales.116