revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©parece hoy inasequible, debido a los trabajos recientes de K. Gödel acerca de los cualestrataremos más adelante.Hilbert era platónico, al considerar el ente matemático como existente en sí, comouna idea que existe aparte de lo real, independiente de los procesos a partir de los cualesse conoce (por el contra, el resto de escuelas de pensamiento son de corte totalmenteempirista). Para él, la Lógica es simplemente una herramienta al servicio de laMatemática. Llevó a cabo la fundamentación de la geometría euclídea en su obra“Fundamentos de la Geometría”, especificando claramente su axiomatización, yhaciendo patente su consistencia relativa respecto de la aritmética y el análisis. En estaobra establece los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante puradeducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclídeas como no euclídeas.Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que nonecesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición(intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de lasdefiniciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción delas matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un purojuego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todoproblema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completad delsistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga, peroestá claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas puedenderivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. Tambiénestá presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducidoposible y deben ser independientes unos de otros.Todas las dificultades en los fundamentos de la matemática nacen del hecho deque en las matemáticas a menudo se hace uso del infinito actual, es decir, que sesuponen como existentes y manejables conjuntos que contienen infinitos elementos. Noobstante, en la deducción de los teoremas matemáticos si bien es verdad que se manejael infinito el número de pasos lógicos que se realizan en cualquier demostración decualquier teorema es necesariamente finito.2.2.1. El programa de Hilbert. Elaboración del sistema formal.La idea fundamental de Hilbert al crear la teoría formalista para la fundamentaciónde la matemática consiste en el concepto de “sistema formal”, es decir, elestablecimiento de un conjunto de teoremas engendrados mediante reglas precisas yobjetivas dando leyes constructivas y/o deductivas. Cada uno de estos sistemas contarácon sus propios conceptos primitivos, axiomas, reglas deductivas, teoremas, etc.Luego, mediante el establecimiento de un criterio, a saber, la consistencia delsistema formal, se establecerá a través de razonamientos finitos y, por tanto, fuera detoda duda, la validez del contenido de todos los teoremas matemáticos. Hilbert y laescuela formalista pretendían crear un nuevo orden matemático para alcanzar dosobjetivos:1-. Que la reglamentación de los métodos usados sea tan rígida que evite todadiscusión.2-. Que no se tropiece con contradicciones ni paradojas.112