revista completa - ANPE BADAJOZ

“ Análisis histórico de los fundamentos lógicos de la Matemática para la clase de Bachillerato“ –Mª Remedios Macías Hernández – ISSN: 1989-9041, Autodidacta ©reducción de los conceptos y métodos de inferencia matemática a los correspondientesde la lógica, concluyendo que la matemática no es más que una rama de la lógica, sinduda extensa y con vida propia, pero cuyo método se identifica con el propio método de lalógica.El primero en desarrollarla con considerable extensión y con todorigor fue G. Frege (1848-1925), en su obra “La fundamentación de laAritmética” (1884), en la que construye toda la aritmética en términospuramente lógicos. Frege introduce los números naturales en términospuramente lógicos: el “0” corresponde al concepto “no idéntico a símismo” (a≠a); el “1” es el número correspondiente al concepto “idénticoa cero” (1={0}); el “2” es el número correspondiente al concepto “idénticoa cero o a uno” (2 ={0,1}), etc.En esta obra Frege hace frecuente uso de la noción de conjuntode todos los conjuntos, lo que le conduce a un completo fiasco en sus propósitos, debidoa la aparición de la paradoja de Russell. Esta paradoja estaba enraizada directamente enla suposición por parte de Frege de que dado un concepto (o propiedad), éste delimitaperfectamente un conjunto, que es llamado su extensión y que consta precisamente delos objeto que poseen dicha propiedad. Al final de su vida, Frege –representante dellogicismo- escribía:“Me he visto obligado a abandonar la idea de que la aritmética sea una ramade la lógica y por tanto que todo pueda ser demostrado lógicamente.”Con mayor extensión aun, lo hizo J. Peano (1858-1932), y finalmente tambiénWhitehead (1861-1947) y B. Russell (1872-1970): en su importante obra PrincipiaMathematica (1910-1913), escrita en colaboración con Whitehead, trata de probar que laMatemática es reducible a un pequeño número de conceptos y deprincipios lógicos fundamentales. Según estos autores: “Todamatemática pura trata exclusivamente de conceptos definibles entérminos de un número muy reducido de conceptosfundamentalmente lógicos, tales que todas sus proposiciones sondeducibles de un número muy reducido de principios lógicos”.2.1.1-. El principio de círculo vicioso.B. Russell.Un somero examen de las paradojas nos sugiere inmediatamente que no se ha depoder permitir utilizar, por lo menos en matemáticas y lógica, conjuntos tan grandes y conelementos tan arbitrarios como los conjuntos U y W de Cantor y Russell, que sin embargosatisfacen las precisas condiciones de conjuntos, que estableció Cantor. Sin duda alguna,el análisis del concepto de conjunto, de sus estrictas y justas limitaciones para su empleoen lógica y matemáticas parece ser un problema más difícil que el de evitar las paradojas.Poincaré y Russell vieron que en todas las paradojas hay una especie de círculo viciosoen cuanto que, en todas ellas, hay una definición que contiene lo definido.Para evitar las antinomias Russell propone el llamado principio del círculo vicioso,que expresa así: «Aquello que presupone la totalidad de un conjunto no debe formar partedel conjunto», el cual tiene el inconveniente de que obliga a prescindir de algunosconceptos matemáticos sumamente útiles, como el de extremo superior de un conjunto108